Un’applicazione \[f: V_{n}\rightarrow W_{p}\] è detta lineare o un omomorfismo se:
1) $\displaystyle f\left ( \mathbf{x}+\mathbf{y} \right )=f(\mathbf{x})+f(\boldsymbol{\mathbf{}y})$
2) $\displaystyle f\left ( a\cdot \mathbf{x} \right )=a\cdot f(\mathbf{x})$
$\displaystyle \forall a\in R,\, \, \mathbf{x},\mathbf{y}\in V_{n}$
Se f è lineare e biunivoca si dice isomorfismo.
Se i sostegni coincidono, Vn = Wp, allora l’applicazione lineare \[f: V_{n}\rightarrow V_{n}\] si dice endomorfismo se verifica le condizioni (1) e (2).
Analoghe definizioni valgono se gli spazi vettoriali sono definiti su uno stesso campo K.
Osservazione. Le relazioni (1) e (2) si possono anche scrivere così:
3) $\displaystyle f\left ( a\cdot \mathbf{x} +b\cdot \mathbf{y}\right )=a\cdot f(\mathbf{x})+b\cdot f(\mathbf{y})$
$\displaystyle \forall a\in R,\, \, \mathbf{x},\mathbf{y}\in V_{n}$. Infatti, dalla (3) per a = 1, e b = 0 si ottiene la (2) e per a = b = 1 si ottiene la (1).
Esempio 1.- Verificare se l’applicazione \[f: R\rightarrow R\] definita con $\displaystyle f(x)=cx$ è lineare, con c costante reale. Occorre provare le relazione (1) e (2).
Risoluzione
Per provare la (1) occorre provare che scelti due qualsiasi elementi di x, y di R si ha che la somma x + y si trasforma mediante l’applicazione lineare nella somma dei trasformati di x e di y.
Si ha:
f( x + y ) = c(x + y)
f( x ) = cx
f( y ) = cy
Ne consegue che
f( x ) + f( y ) = cx + cy = c(x+y)
e pertanto è uguale a f( x + y ) = c(x + y).
Per provare la (2) occorre provare che scelto un qualsiasi elemento di x di R si ha che ax si trasforma mediante l’applicazione lineare in a f(x).
Si ha:
f(ax) = acx
f(x) = cx
Ne consegue che
a f(x) = acx = f(ax)
Dunque l’applicazione è lineare.
Esempio 2.- Verificare se l’applicazione \[f: R\rightarrow R\] definita con $\displaystyle f(x)=cx+k$ è lineare, con c e k, diverso da zero, costanti reali.
Risoluzione
Si ha:
f( x + y ) = c(x + y) + k
f( x ) = cx + k
f( y ) = cy + k
Ne consegue che
f( x ) + f( y ) = cx + k + cy + k = c(x + y) + 2k
e pertanto è uguale a f( x + y ) = c(x + y) + k.
Dunque l’applicazione non è lineare perché 2k è diverso da k.
Esempio 3.- Data la funzione \[f: R^{2}\rightarrow R^{2}\] definita \[(x,y)\rightarrow (2x-y,x-2y)\] stabilire se è lineare.
Indichiamo con x = (x1, x2) e y = (y1, y2) due generici vettori di R2 e \[a\in R\].
Risoluzione
Si ha:
f( x + y ) = f [ (x1+y1, x2+y2 )] = ( 2(x1+y1) – (x2+y2) , x1+y1– 2(x2+y2) ) = ( 2x1 – x2 + 2y1 – y2 , x1 – 2x2 + y1 – 2y2 )
f( x ) = f [ (x1, x2)] = (2x1 – x2, x1 – 2x2)
f( y ) = f [ (y1, y2)] = (2y1 – y2, y1 – 2y2)
Ne consegue che
f( x ) + f( y ) = (2x1 – x2, x1 – 2x2) + (2y1 – y2, y1 – 2y2) = ( 2x1 – x2 + 2y1 – y2 , x1 – 2x2 + y1 – 2y2 )
e pertanto è uguale a f( x + y ) = ( 2x1 – x2 + 2y1 – y2 , x1 – 2x2 + y1 – 2y2 ).
Bisogna provare la (2).
Ricordiamo che a x = (ax1, ax2). Si ha:
f(ax) = f [(ax1, ax2 )] = ( 2ax1– ax2 , ax1 – 2ax2 )
a f(x) = a f [(x1, x2 )] = a ( 2x1– x2 , x1 – 2x2 ) = ( 2ax1– ax2 , ax1 – 2ax2 )
Dunque l’applicazione è lineare.