Definizione di integrale definito
AVVERTENZA.- Per calcolare un integrale definito \[\int_{a}^{b}f(x)dx\]
bisogna sapere calcolare prima l’integrale indefinito \[\int f(x)dx\]
detta poi F(x) una qualsiasi primitiva di f(x) si calcola \[\int_{a}^{b} f(x)dx=\left [ F(x) \right ]_{a}^{b}=F(b)-F(a)\]
Esempio 1.- Calcolare il seguente integrale definito: \[\int_{1}^{2}\left ( x^{2}-3x+1 \right )dx\]
Risoluzione
Calcoliamo preliminarmente l’integrale indefinito \[\int (x^{2}-3x+1)dx=\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+x+c\]
Quindi l’integrale definito assegnato vale \[\int_{1}^{2}(x^{2}-3x+1)dx=\left [ \frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+x \right ]_{1}^{2}=\frac{2^{3}}{3}-3\frac{2^{2}}{2}+2-\left ( \frac{1}{3}-\frac{3}{2} +1\right )=\frac{8}{3}-6+2-\frac{1}{3}+\frac{3}{2}-1=\frac{7}{3}+\frac{3}{2}-5=\frac{14+9-30}{6}=-\frac{7}{6}\]
Prima di andare avanti prova a calcolare il seguente integrale \[\int_{1}^{2}\frac{2x}{x-3}dx\]
e se non ci riesci guarda il mio video sul mio canale Youtube“
Esempio 2.- Calcolare il seguente integrale definito: \[\int_{0}^{\frac{\pi }{2}} ( senx+cosx )dx\]
Risoluzione
Calcolare anche i seguenti tre integrali definiti: \[\int_{-1}^{0}\frac{2x}{x^{2}+1} dx, \int_{0}^{1}(e^{x}-x^{2}) dx,\int_{1}^{\sqrt{3}}\frac{dx}{4+4x^{2}}\]
Esempio 3.- Calcolare il seguente integrale definito:\[\int_{0}^{\pi }sen3x\, cosx\, dx\]
Esempio 4.- Calcolare il seguente integrale definito: \[\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} dx\]
Esempio 5.- Calcolare il seguente integrale definito: \[\int_{0}^{1} ln\, x \, dx\]
Non ci riesci? Prova a calcolare per parti prima il seguente integrale \[\int_{2}^{3}xe^{x}dx\]
Niente? Buio pesto? Allora rivedi il metodo d’integrazione per parti di un integrale indefinito e quindi estendi la funzione primitiva tra 2 e 3. Il video può aiutarti!
Esempio 6.- Calcolare il seguente integrale definito: \[\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} tan\, x \, dx\]
Esempio 7.- Calcolare il seguente integrale definito: \[\int_{-1}^{1}\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{2-x}dx\]
Esempio 8.- Calcolare il seguente integrale definito: \[\int_{0}^{1}\frac{ln(x+1)}{x^{2}+1}dx\]
Suggerimento: porre $\displaystyle x=tan\, \alpha$ da cui dx = …
Risultato \[\frac{\pi }{8}\cdot ln2\]