AVVERTENZA.- La regola d’integrazione per parti dedotta dalla regola di derivazione di un prodotto può assumere le seguenti due forme (a meno di una costante additiva): \[\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)dx\] oppure \[\int f(x)\cdot dg(x)=f(x)\cdot g(x)-\int g(x)df(x)\] essendo dg(x) = g'(x)dx, df(x) = f'(x)dx. Il fattore f(x) si chiama fattore finito e g'(x)dx fattore differenziale, ed è chiaro che in un integrale del tipo \[\int f(x)g(x)dx\] si è liberi di scegliere come fattore differenziale sia la f(x) che la g(x) sempre però in relazione al fatto che poi il secondo integrale della formula d’integrazione per parti si semplifichi. Ad esempio se la funzione f(x) è un polinomio non conviene sceglierla in genere come fattore differenziale, mentre se f(x) = 1 sicuramente f(x) deve essere il fattore differenziale.
Questa regola ha senso applicarla quando il secondo integrale della formula è più semplice o noto.
1.- Calcolare il seguente integrale per parti:\[\int\,xe^{x}dx\]
Risoluzione
Osservato che \[d\left ( e^{x} \right )=e^{x}dx,\]i’integrale si può calcolare nel seguente modo: \[\int xe^{x}dx=\int x\cdot d\left ( e^{x} \right )=xe^{x}-\int 1\cdot e^{x}dx=xe^{x}-\int e^{x}dx=xe^{x}-e^{x }+c=e^{x}\left ( x-1 \right )+c\]
Alternativamente si può ragionare, applicando la regola per parti \[\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int g(x)()f'(x)dx,\]
prendendo x come fattore finito ed e^x come fattore differenziale, ossia: \[f(x)=x,\, \, g'(x)=e^{x}\]
da cui \[f'(x)=1,\, \, g(x)=\int e^{x}=e^{x}\], e sostituire nella formula della regola d’integrazione per parti. Si ha:
\[\int xe^{x}dx=xe^{x}-\int 1\cdot e^{x}dx=xe^{x}-e^{x}+c\]
2.- Calcolare il seguente integrale per parti:\[\int\,x\, senx\, dx\]
Ci riesci? Se hai dubbi consulta il seguente video.
3.- Calcolare il seguente integrale per parti:\[\int\,sen^{2}x dx\]
L’integrale si può calcolare anche con la formula di bisezione \[sen^{2}x=\frac{1-cos\, 2x}{2}\]
Per calcolare l’integrale per parti invece riscriviamolo nel seguente modo: \[\int sen^{2}x\, dx=\int senx\cdot senx\, dx=…\]
Un altro esempio simile? Eccolo: \[\int cos^{2}x\, dx\]
Ci riesci a svolgerlo da solo integrando per parti (si può risolvere anche con le formule di bisezione)? Se hai dubbi consulta il seguente video.
4.- Calcolare il seguente integrale per parti:\[\int\,lnx\, dx\]
Per calcolare l’integrale assegnato riscriviamolo nel seguente modo \[\int lnx\, dx=\int 1\cdot lnx\, dx=…\]
Ci sei riuscito? Scommetto che lo hai svolto in un battibaleno! E se sbaglio allora consulta il seguente video .
5.- Calcolare il seguente integrale per parti:\[\int\,x\cdot lnx\, dx\]
6.- Calcolare il seguente integrale per parti:\[\int\,x^{2}\cdot e^{x} dx\]
Risultato: \[x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+c\]
7.- Calcolare il seguente integrale per parti:\[\int\,x^{2}\, e^{2x} dx\]
8.- Calcolare il seguente integrale per parti:\[\int\,arctan\, x\, dx\]
9.- Calcolare il seguente integrale per parti:\[\int\,x\, senx\, cosx\, dx\]
10.- Calcolare il seguente integrale per parti: \[\int\,ln^{2}x dx\]
Risultato: \[x\cdot ln^{2}\, x-2x\cdot lnx+2x+c\]
11.- Calcolare il seguente integrale per parti:\[\int x^{2}lnx\, dx\]
Risultato:\[\frac{x^{3}lnx}{3}-\frac{x^{3}}{9}+c\]
12.- Calcolare il seguente integrale per parti: \[\int x^{2}senx\, dx\]
Risultato: \[2x\cdot senx+(2-x^{2})cosx+c\]
13.- Calcolare il seguente integrale per parti: \[\int \frac{x}{sen^{2}x}\, dx\]
Risultato: \[-x\cdot ctg\, x+ln\left | senx \right |+c\]
14.- Calcolare il seguente integrale per parti: \[\int x\, sen^{2}x\, dx\]
Risultato: \[-\frac{1}{2}x\cdot senx\, cosx+\frac{1}{4}\left ( sen^{2}x +x^{2}\right )+c\]
15.- Calcolare il seguente integrale per parti: \[\int x\, tan^{2}x\, dx\]
Risultato: \[xtanx+ln\left | cosx \right |-\frac{x^{2}}{2}+c\]
16.- Calcolare il seguente integrale per parti\[\int \sqrt{1-x^{2}}dx\]
Risultato: \[\frac{1}{2}arcsemx+x\sqrt{1-x^{2}}+c\]
17.- Calcolare i seguenti integrali per parti: \[\int x^{n}e^{\alpha x}dx,\, \, \int x^{n}sen(\alpha x)dx,\, \, \int x^{n}cos(\alpha x)dx\]
Per vedere alcuni esercizi svolti puoi consultare il mio canale Youtube