AVVERTENZA.- La regola di integrazione per sostituzione permette di riscrivere l’integrale \[\int f(x)dx\]
nel seguente modo \[\int f(x)dx=\int f(g(t))\cdot g'(t)dt\] avendo posto nell’integrale dato \[t=h(t)\rightarrow x=g(t)\rightarrow dx=g'(t)dt\]
La funzione h(x) deve essere derivabile e invertibile.
E’ chiaro che tale metodo ha senso applicarlo se dopo la sostituzione della variabile d’integrazione l’integrale assegnato si semplifica. La sostituzione da applicare può inizialmente essere difficile da intuire ed ecco che per noi comuni mortali la maggior parte dei libri di testo le suggeriscono, successivamente la mente si apre e con la pratica si riesce ad intravedere la sostituzione più opportuna. A tal proposito vedi le sostituzioni proposte nella foto seguente tratta dall’ottimo libro Lineamenti. Math BLU di Baroncini, Manfredi, Fragni, Ghisetti e Corvi Editori.
1.- Calcolare il seguente integrale per sostituzione: \[\int \sqrt{x+2}dx\]
Risoluzione
Poniamo \[x+2=t\rightarrow dx=dt\]
e sostituendo nell’integrale dato si ha:\[\int \sqrt{x+2}dx=\int \sqrt{t}\cdot dt=\frac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+c=\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c=\frac{2}{3}\sqrt{t^{3}}+c\]
e sostituendo al posto di t la quantità x + 2 si ha: \[\int \sqrt{x+2}dx=\frac{2}{3}\sqrt{\left ( x+2 \right )^{3}}+c\]
Un’altra sostituzione poteva essere \[\sqrt{x+2}=t\]
2.- Calcolare il seguente integrale per sostituzione: \[\int e^{^{3x+2}}dx\]
[ Suggerimento: Poniamo 3x + 2 = t … dx =… ]
3.- Calcolare il seguente integrale per sostituzione\[\int \frac{1}{ \sqrt{3-4x} }dx\]
Risoluzione
Poniamo 3 – 4x = t da cui si ricava che x = ( 3 – t )\4 e differenziando primo e secondo membro si ottiene dx = – dt/4. Pertanto sostituendo nell’integrale dato si ha:…
4.- Calcolare il seguente integrale per sostituzione:\[\int \frac{lnx}{x}dx\]
Risoluzione
Poniamo ln x = t da cui si ha \[x=e^{t}\rightarrow dx=e^{t}dt\] e sostituendo nell’integrale assegnato si ha:\[\int \frac{lnx}{x}dx=\int \frac{t}{e^{t}}\cdot e^{t}dt=\int t\cdot dt=\frac{t^{2}}{2}+c\]
Pertanto, sostituendo ln x a t si ve che l’integrale assegnato vale: \[\int \frac{lnx}{x}dx=\frac{ln^{2}x}{2}+c\]
Calcolare i seguenti tre integrali dello stesso tipo del 4: \[\int \frac{ln(x+1)}{x+1}dx,\int \frac{ln(2x+3)}{2x+3}dx,\int \frac{ln(x^{3})}{x}dx\]
5.- Calcolare il seguente integrale per sostituzione:\[\int \frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx\]
Sono sicuro che ci sei riuscito. Giusto per scaramanzia ti consiglio il seguente video.
6.- Calcolare il seguente integrale per sostituzione:\[\int \frac{x+3}{2x+5}dx\]
Suggerimento: poniamo 2x + 5 = t…e dai vai avanti da solo! Se proprio non riesci a farlo puoi vedere qui
7.- Calcolare il seguente integrale per sostituzione:\[\int \frac{3}{x\sqrt{1-ln^{2}x}}dx\]
Integrale semplicissimo, si può calcolare immediatamente (!). Per farlo per sostituzione basta porre
ln x = t…
Risultato: \[\int \frac{3}{x\sqrt{1-ln^{2}x}}dx=3 arcsen (ln\, x)+c\]
Allo stesso modo si vede che: \[\int \frac{-\pi }{x\sqrt{1-ln^{2}x}}dx= -\pi arccos (ln\, x)+c, \int \frac{e^{3}}{x(1+ln^{2}x)}=e^{3}\cdot arctan(lnx)+c\]
8.- Calcolare il seguente integrale per sostituzione:\[\int \sqrt{4-x^{2}}dx\]
Risoluzione
Poniamo \[x=2sent\rightarrow dx=2cost\cdot dt\]…\[\int \sqrt{4-x^{2}}dx=\int \sqrt{4-\left ( 2sent \right )^{2}}2\cdot cost\cdot dt=\int \sqrt{4-4sen^{2}t}\cdot 2\cdot cost\cdot dt=\int \sqrt{4\left ( 1-sen^{2}t \right )}2\cdot cost\cdot dt=\int 4\sqrt{1-sen^{2}t}\cdot cost\cdot dt=4\int cost\cdot cost\cdot dt=4\int cos^{2}t\cdot dt=…\] e l’integrale si può calcolare utilizzando le formule di bisezione ( o per parti). Si ha dunque: \[\int cos^{2}t\, dt=\int \frac{1+cos2t}{2}dt=\frac{1}{2}\int tdt+\frac{1}{2}\int cos2t\, dt=\frac{t}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int 2cos2t\, dt=\frac{t}{2}+\frac{1}{4}sen2t+c=\frac{t}{2}+\frac{1}{2}sent\cdot cost+c\]
Non pensare che hai finito la cosa è un po’ lunga ancora… Provaci! Se non riesci aspetta il mio aggiornamento!
9.- Calcolare il seguente integrale per sostituzione:\[\int x^{3}e^{-x^{2}}dx\]
Poniamo x^2 = t da cui dt = 2x dx… ( devi fare qualche sforzo in più! )
10.. Calcolare il seguente integrale per sostituzione:\[\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx\]
Se non ci riesci…prova a calcolare prima \[\int \frac{x}{\sqrt{1-x}}dx\] con la sostituzione t = 1 – x…
11.- Calcolare il seguente integrale per sostituzione:\[\int \frac{e^{3x}+e^{x}}{1+e^{2x}}dx\]
Risoluzione
Poniamo \[e^{x}=t\rightarrow x=lnt\rightarrow dx=\frac{dt}{t}\] e si vede facilmente che l’integrale vale. \[\int \frac{e^{3x}+e^{x}}{1+e^{2x}}dx=e^{x}+c\]
Prova a farlo senza sostituzione!
12.Calcolare il seguente integrale per sostituzione:\[\int \frac{senx+cosx}{2senx-3cosx}dx\]
Non ci sei riuscito? Prova a calcolare il seguente integrale\[\int \frac{3senx}{cos^{2}x-5cosx+6}dx\]
E se non riesci a calcolarlo vedi il seguente video.
13.Calcolare il seguente integrale per sostituzione:\[\int \frac{1+cos^{2}x}{\left ( 1+cosx \right )senx}dx\]
14.Calcolare il seguente integrale per sostituzione\[\int \frac{1+\sqrt[6]{x}}{ ( \sqrt[4]{x} +1)\sqrt[3]{x} }dx\]
Per vedere alcuni esercizi svolti puoi consultare il mio canale Youtube
Prova a calcolare gli integrali riportati nella seguente foto, tratta dal mio libro Nozioni basilari di analisi matematica.
15.Calcolare i seguenti due integrali assegnati ad una prova di Analisi 1 per Ingegneria nel 2024:
\[\int\frac{1}{x}\frac{1}{ln^{2}x+3lnx-4}dx;\,\,\int\frac{1}{cos^{2}x} \frac{1}{tg^{2}x+tgx+1}dx\]