Criteri di convergenza di una serie numerica

Criteri di convergenza di una serie numerica

a) Criterio di convergenza di Cauchy.
Condizione necessaria e sufficiente affinché la serie numerica

\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}

di termine generale

x_{n}

 sia convergente è che 

\forall \varepsilon> 0\, \, \exists\, \nu \in N:\forall \, n> \varepsilon\, \, e\,\, \forall p\in N

risulti: 

\left | x_{n+1} +x_{n+2} +...+x_{n+p} +\right |< \varepsilon

Nota Se una serie è convergente allora si ha la condizione necessaria: 

\lim_{n}x_{n}=0

Notiamo che tale criterio è di non convergenza, ovvero se il limite del termine generale non è zero allora la serie non converge; ma se tale limite è zero non è detto che la serie converga.

b) Criterio di Gauss o del confronto. 
Siano 

\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n},\, \, \sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}

 due serie a termini positivi. Se la serie

\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}

converge e se la seconda serie è maggiorata dalla prima, ossia se: 

y_{n}\leq x_{n}\, \, \, \, \forall n\in N

allora converge anche la serie:

\sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}

Se la serie 

\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}

  diverge e se

x_{n}\leq y_{n}\, \, \, \, \forall n\in N


allora diverge anche la serie

\sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}

c)Criterio del confronto asintotico
Date due serie a termini positivi 

1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \sum_{n=1}^{+\infty }x_{n},\, \, \sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}

con

y_{n}\neq 0\, \, \, \forall n\in N

\lim_{n}\frac{x_{n}}{y_{n}}=l

 allora si ha:

  1. se 

    l\in \left ( 0,+\infty \right )

     le due serie (1) hanno lo stesso carattere;
  2. se

    l=0

     e se converge la serie

    \sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}

    converge anche la serie 

    \sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}

  3. se

    l=+\infty

     e se diverge la serie

    \sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}

      diverge anche la serie 

    \sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}

    .

d) Criterio di D'Alembert o del rapporto.
Sia

\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}

  una serie a termini positivi e tale che

\lim_{n}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=l


Si ha:

  • se l < 1 la serie converge;
  • se l > 1 la serie diverge;
  • se l = 1 il criterio non fornisce informazione sul carattere delle serie.

e) Criterio della radice.
Sia

\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}

  una serie a termini positivi e tale che

\lim_{n}\sqrt[n]{x_{n}} =l

Si ha:

  • se l < 1 la serie converge;
  • se l > 1 la serie diverge;
  • se l = 1 il criterio non fornisce informazione sul carattere delle serie.

f) Criterio di Leibniz.
Sia

\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( -1 \right )^{n}x_{n}

una serie a termini di segno alterno. Se:

  1. x_{n}\geq 0\,\, \, \, \, definitivamente

  2. \lim_{n}x_{n}=0

  3. \left \{ x_{n} \right \}\, \, successione\, \, decrescente

allora converge la serie

\sum_{n=1}^{+\infty }\left ( -1 \right )^{n}x_{n}


Nota Il resto

r_{n}

 della serie, cioè l'errore che si commette sostituendo alla somma S il valore della somma parziale

S_{n}

 è minore, in valore assoluto, del valore assoluto del termine di indice n+1:

\left | r_{n} \right |< x_{n+1}

Precisamente, l'approssimazione è per difetto se l'ultimo addendo di

S_{n}

è negativo, per eccesso se l'ultimo addendo di è positivo.

g) Criterio di Raabe

h) Criterio dell'integrale

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