a) \[f(x,y)=-3x^{2}+5y^{2}\]
b) $\displaystyle f(x,y)=6xy-x^{2}y-xy^{2}$
c) $\displaystyle f(x,y)=x^{4}+y^{4}-8\left ( x^{2}+y^{2} \right )$
Risoluzione
a) Cominciamo a calcolare la derivata parziale prima della funzione rispetto alla variabile x, si ha:
\[f’_{x}\left ( x,y \right )=-3\left ( 2x \right )+0=-6x\]
La derivata parziale prima rispetto ad y è invece:
\[f’_{y}\left ( x,y \right )=o+5(2y)=10y\]
Ora calcoliamo la derivata parziale seconda fatta due volte rispetto ad x, cioè $\displaystyle f”_{xx}\left ( x,y \right )$ si ha.
\[f”_{xx}\left ( x,y \right )=-6\]
mentre la derivata parziale seconda ottenuta derivando due volte rispetto ad y è:
\[f”_{yy}\left ( x,y \right )=10\]
Osserviamo che possiamo anche considerare le derivate parziali seconde miste:
\[f”_{xy}\left ( x,y \right )=D_{y}\left [ f’_{x}\left ( x,y \right ) \right ]=D_{y}6=0\]
\[f”_{yx}\left ( x,y \right )=D_{x}\left [ f’_{y}\left ( x,y \right ) \right ]=D_{x}10=0\]
( $\displaystyle D_{y}$ derivata rispetto ad y) e ovviamente sono uguali perché la funzione f è continua (Teorema di Schwarz)
Ricordiamo che:
significa che si deriva prima rispetto ad x e poi rispetto ad y, mentre
significa che si deriva prima rispetto ad y e poi rispetto ad x.
Esercizio 2.- Calcolare le derivate parziali prime della seguente funzione
\[f(x,y)=\frac{x+2y-1}{3x-y^{2}-4xy}\]
nei punti A(-1,0), B (2, -3).
Risoluzione
La derivata parziale prima rispetto ad x è:
\[f’_{x}=\frac{\left ( 1+0-0 \right )\left ( 3x-y^{2} -4xy\right )-\left ( x+2y-1 \right )\left ( 3-0-4y \right )}{\left ( 3x-y^{2}-4xy \right )^{2}}=\]
\[=\frac{ 3x-y^{2} -4xy-3x+4xy-1-6y+8y^{2} +3-4y}{\left ( 3x-y^{2}-4xy \right )^{2}}=\]
\[=\frac{7y^{2}-10y+3}{\left ( 3x-y^{2}-4xy \right )^{2}}\]
cioè
\[f’_{x}(x,y)=\frac{7y^{2}-10y+3}{\left ( 3x-y^{2}-4xy \right )^{2}}\]
Calcoliamo ora la derivata parziale prima nel punto A(-1,0), si ha:
\[f’_{x}=\left ( -1,0 \right )=\frac{7\cdot (0)^{2}-10\left ( 0 \right )+3}{\left [ 3\left ( -1 \right ) \right ]-\left ( 0 \right )^{2}-4\left ( -1 \right )\left ( 0 \right )^{2}}=\frac{1}{3}\]
mentre nel punto B (2, -3) vale: …
Esercizio 3.- Calcolare le derivate parziali prime della seguente funzione
\[f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}-2x}\]
Risoluzione
Si tratta di una funzione composta, quindi applichiamo la regola di derivazione delle funzioni composte.
La derivata parziale prima rispetto ad x è:
\[f’_{x}=e^{x^{2}+y^{2}-2x}\left ( 2x-2 \right )=2\left ( x-1 \right )e^{x^{2}+y^{2}-2x}\]
Calcoliamo ora la derivata parziale nel punto A (0,0) e nel punto B(1,0). Si ha:
\[f’_{x}\left ( 0,0 \right )=2\left ( 0-1 \right )e^{0^{2}+0^{2}-2\left ( 0 \right )}=-2\]
\[f’_{x}\left ( 1,0 \right )=2\left ( 1-1 \right )e^{1^{2}+0^{2}-2\left ( 1 \right )}=0\]
Calcoliamo ora la derivata parziale prima rispetto ad y, si ha:
\[f’_{y}=2y\, e^{x^{2}+y^{2}-2x}\]
Esercizio 4.- Calcolare le derivate parziali prime della seguente funzione
\[f(x,y)=ln\left ( \frac{senx+y}{ycosx} \right )\]
ove ln indica il logaritmo neperiano.
Risoluzione
Si tratta di una funzione composta, quindi applichiamo la regola di derivazione delle funzioni composte.
La derivata parziale prima rispetto ad x è:
\[f’_{x}=\frac{1}{\frac{sen\, x+y}{ycos\, x}}\cdot \frac{\left ( cos\, x+0 \right )ycosx-\left ( sen\, x+y \right )y\left ( -sen\, x \right )}{\left ( y\, cos\, x \right )^{2}}=…\]
Calcoliamo ora la derivata parziale prima rispetto ad y, si ha:
\[f’_{y}=\frac{1}{\frac{sen\, x\, +\, y}{y\cdot cos\, x}}\cdot \frac{1\cdot ycos\, x-\left ( sen\, x+y \right )cosx}{\left ( y\, cos\, x \right )^{2}}=…=\frac{-sen\, x}{\left ( ycos\, x \right )^{2}}\]
Altri esempi svolti sulle derivarte parziali nella pagina “Derivate parziali”