Discussione grafica di un’equazione parametrica di 2° grado (metodo della parabola fissa)

Vogliamo qui mostrare come si discute graficamente un’equazione parametrica di 2° con il metodo della parabola fissa.
Precisamente, vogliamo risolvere il seguente problema:

\[1)\, \, \left\{\begin{matrix} a(k)x^{2}+b(k)x+c(k) & =0\\ \alpha <x<\beta & \end{matrix}\right.\]

ossia, vogliamo determinare i valori del parametro reale k, da cui dipendono i coefficienti dell’equazione di secondo grado, indicata nel sistema, affinché l’equazione abbia soluzioni (una o entrambe le soluzioni) comprese tra i numeri \[\alpha ,\, \beta\] ossia: \[\alpha <x< \beta\]

Questo problema si può risolvere con il metodo di Tartanville, ma noi vogliamo qui proporre una risoluzione grafica, indicata con il nome di Metodo della parabola fissa.
Il metodo consiste, essenzialmente, nel trasformare, con la posizione y = x² , il problema dato nel seguente:

\[2)\, \, \left\{\begin{matrix} y=x^{2} & \\ a(k)y+b(k)x+c(k) &=0 \\ \alpha <x<\beta & \end{matrix}\right.\]

formalmente equivalente al problema precedente. Il sistema è composto oltre che della parabola fissa y = x²  anche dell’equazione parametrica \[3)\, \, a(k)y+b(k)x+c(k)=0\] di primo grado in due incognite e che, in un riferimento cartesiano Oxy, indica un fascio di rette. Tale fascio di rette può essere proprio, di centro C, o improprio, nel qual caso è composto da tutte rette parallele tra loro. Notiamo subito che il centro C del fascio, quando esiste, può essere interno alla parabola o esterno e pertanto, la risoluzione del problema necessita di queste due distinzioni, nonché di alcune considerazioni supplementari, come vedremo negli esempi.
La condizione \[\alpha <x< \beta\] può essere sostituita da una delle seguenti: \[\alpha <x\leq \beta ,\, \alpha \leq x<\beta ,\, \alpha \leq x\leq \beta\] ma la risoluzione sostanzialmente non cambia. Infine, ricordiamo che discutere il sistema (2) significa ricercare i valori del parametro reale k per i quali il fascio di rette (3) interseca la parabola in un punto P o in due punti, P e Q, compresi nell’arco di parabola AB, ove A è il punto della parabola di ascissa e B il punto di ascissa .
Se esiste un punto P, d’ascissa x = c, d’intersezione tra la parabola e il fascio di rette, compreso tra i punti A e B, necessariamente si ha  \[\alpha <c< \beta\] al massimo che c coincide con o con .

Per tale motivo, discutere il sistema (1) equivale a discutere il sistema (2).