Si dice problema di Cauchy, o dei valori iniziali, relativo all’equazione differenziale del primo ordine \[1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {y}’=f(x,y)\] nel punto \[P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )\] e si indica con il simbolo: \[\left\{\begin{matrix} y’= & f(x,y)\\ y\left ( x_{0} \right ) &=y_{0} \end{matrix}\right.\] il problema di determinare una soluzione y(x) dell’equazione differenziale (1) e che passa per il punto \[P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )\] ovvero che nel punto \[x=x_{0}\, \, \, assume\, \, valore\, \, \, y=y_{0}\] ossia \[y\left ( x_{0} \right )=y_{0}\] Da un punto di vista geometrico possiamo dire che per ogni punto \[P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )\] del dominio D della funzione f(x,y) passa una ed una sola curva integrale dell’equazione differenziale (1).
Il problema di Cauchy si può estendere ad equazioni differenziali di ordine superiore al primo. Nel caso l’equazione differenziale sia del secondo ordine \[y”=f(x,y,y’)\] il problema di Cauchy, o dei valori iniziali, si indica nel seguente modo: \[\left\{\begin{matrix} y”&=f\left ( x,y,y’ \right ) \\ y\left ( x_{0} \right )&=y_{0} \\ y’\left ( x_{0} \right ) &=y’_{0} \end{matrix}\right.\] Nel caso l’equazione differenziale sia di ordine n \[y^{(n)}=f\left ( x,y,y’,…,y^{(n-1)} \right )\] il problema di Cauchy si indica nel seguente modo \[\left\{\begin{matrix} y^{\left ( n \right )}&=f\left ( x,y,y’,…,y^{\left ( n-1 \right )} \right ) \\ y\left ( x_{0} \right )&=y_{0} \\ y’\left ( x_{0} \right ) &=y’_{0} \\ …\\ y^{\left ( n-1 \right )}\left ( x_{0} \right )&=y^{\left ( n-1 \right )}_{0} \end{matrix}\right.\]