Prova 1
N.1.- Risolvere il seguente problema di Cauchy \[\left\{\begin{matrix} y”-y’+3y & =3e^{x}+1\\ y(0)&=0 \\ y'(1)&=0 \end{matrix}\right.\]
N.2.- Data la funzione\[f(x,y)=x^{2}y+2y^{2}x-y\] determinare
- I punti di minimo e di massimo relativo ed i punti di sella;
- i punti di minimo e di massimo assoluti della funzione nel triangolo di vertici O(0,0), A(0,1), B(1,1).
N.3.- Dato il campo vettoriale\[\vec{v}(x,y)=\left ( 6xy-y^{2}-1 \right )\vec{i}+\left ( 3x^{2}-2xt+3y^{2} \right )\vec{j}\]
- Stabilire se è conservativo in R^2 ed in tal caso calcolare il potenziale;
- Calcolare il lavoro lungo la curva \[\gamma :\left\{\begin{matrix} x(t) &=t \\ y(t) &=t \end{matrix}\right.\, \, \, \, \, \, \, t\in \left [ 0,1 \right ]\]
N.4.- Calcolare il seguente integrale triplo \[\int \int \int _{A}xye^{x\, z}\, dxdydz\] \[A = \left [ 0,2 \right ]\times \left [ 1,3 \right ]\times \left [ 0,1 \right ]\]
N.5.- Sia D il cilindro definito dalle disuguaglianze \[0\leq z\leq 1,\, \, \, x^{2}+y^{2}\leq 4\]
e sia \[\vec{F}=\left ( x-2z \right )\vec{i}+\left ( 3y+e^{x} \right )\vec{j}+4\vec{k}\] Determinare il flusso di \[\vec{F}\]
uscente dal cilindro.
Prova 2
N.1.-Trovare la soluzione y = y(x) della seguente equazione differenziale \[y”+2y’+y=\frac{1}{e^{x}\left ( x+1 \right )}\]
passante per il punto \[P\left ( -2,e^{2}+2 \right )\] e tangente alla retta di equazione y = 3x nel punto x = -2.
N.2.- Data la funzione determinare \[f(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}+4x}\]
i punti di minimo e massimo assoluti di f(x,y) nel quadrato di vertici O(0,0), A(-2,0), B(-2,2), C(0,2).
N.3.- Verificare che il seguente campo vettoriale \[\vec{v}(x,y)=\left ( \frac{y}{\sqrt{1-x^{2}}} \right )\vec{i}+\left ( 2y+arcsenx \right )\vec{j}\] è conservativo
Calcolare inoltre il potenziale
Calcolare il lavoro del campo v lungo la curva \[\Gamma :y=arcsenx\] dal punto P’ e P” rispettivamente di ascisse 0 e 1/2.
N.4.- Calcolare il baricentro della regione di piano \[B=\left \{ \left ( x,y \right ) :x^{2}+y^{2}\leq 1,y\geq 0\right \}\]
Sia poi B il triangolo di vertici \[B_{1}=\left ( 0,0 \right ),B_{2}=\left ( 0,1 \right ),B_{3}=\left ( 1,0 \right )\]
Calcolare il momento di inerzia di B rispetto al vertice \[B_{1}\]
N.5.- Calcolare l’area della superficie \[S:\left\{\begin{matrix} x &=u^{2} \\ y& =v^{2}\\ z & =\sqrt{2}\cdot u\cdot v \end{matrix}\right.\] con (u,v) nel cerchio di centro (0,0) e raggio 2.