Esempio 1.2.- Approssimiamo l’aorta con un tubo di diametro d = 1 cm e il sangue come un fluido ideale incompressibile che scorre con velocità media v = 30 cm/sec. All’aorta sono collegati miliardi di capillari con una sezione trasversale complessiva di 2000 cm quadri. Calcolare la velocità media del sangue nei capillari.
Esempio 1.3.- In un torchio idraulico il condotto più stretto ha sezione con diametro di 10 cm ed il più largo diametro di 28 cm. Comprimendo il liquido nel condotto più stretto con una massa di 60 kg, quale sarà la forza trasmessa nel condotto più largo? Qual è il guadagno di tale leva idraulica?
Esempio 1.4.- In un grande serbatoio è contenuta dell’acqua fino ad un’altezza di 8 metri. Viene praticato un foro 2 metri sotto al livello dell’acqua e ne fuoriesce un getto che arriva a colpire il piano orizzontale ad una certa distanza d dal serbatoio stesso. Calcolare la distanza d e la velocità (modulo, direzione e verso) con cui l’acqua arriva a terra.
Esempio 1.5.-Due larghi serbatoi sono riempiti con un liquido. Nel serbatoio 1 si fa un foro di sezione A e nel serbatoio 2 un altro foro di sezione B rispettivamente alle profondità h e q. Se \[A=2\cdot B\] ed i flussi volumetrici sono uguali, quale deve valere q sapendo che h = 8 m?
Risoluzione
I flussi volumetrici nel serbatoio 1 e 2 sono rispettivamente \[A\cdot \sqrt{2gh},\, \, \, B\cdot \sqrt{2gq}\]
e tenuto conto che A = 2 B e che i flussi volumetrici sono uguali si ottiene l’equazione: \[A\cdot \sqrt{2gh}= B\cdot \sqrt{2gq}\]
\[2B\cdot \sqrt{2gh}= B\cdot \sqrt{2gq}\]
ossia \[2\cdot \sqrt{2gh}= \cdot \sqrt{2gq}\] ed elevando al quadrato e semplificando si ha
\[4h=q\]
E sapendo che h = 8 m segue che q = 32 m.
Esempio 1.6.-Determinare la massa di un cubo di volume 360 cm^3 che posto in un liquido avente densità pari ai 7/6 di quella dell’acqua distillata rimane immerso per i 3/5 della sua altezza.
Esempio 1.7.- Una colonna di acqua distillata di altezza pari a 61 cm esercita la stessa pressione di una colonna (di sezione doppia di quella dell’acqua) di una soluzione salina alta 54 cm. Determinare la densità della soluzione salina.
Esempio 1.8.-Una pallina di alluminio ha un volume di 5 cm^3 ed è completamente immersa in un liquido. Il suo peso della pallina completamente immersa è 7,06 10^(-2) N. Calcolare la spinta di Archimede che riceve la pallina e la densità del liquido.
Risoluzione
Calcoliamo prima di tutto la massa della pallina, si ha: m = d(alluminio) V. Quindi calcoliamo il peso della pallina senza essere immerso nel liquido: P (pallina) = m g. La spinta di Archimede la possiamo dunque calcolare con la formula F(archimede) = P (pallina) – P (pallina immersa). Infine per calcolare la densità del liquido utilizziamo la formula: d(liquido) = F (archimede)/Vg.
Risultati: F(archimede) 6,18 10^(-2) N, d(liquido) 1,21 10^2 Kg/m^3
Esempio 1.9.- Un tubo di diametro d cm porta l’acqua, proveniente dal livello stradale, in una abitazione alla pressione di 1,9 bar. Se si apre il rubinetto di diametro p ( p < d ) al primo piano posto ad h metri dal piano stradale, l’acqua impiega t secondi per riempire una caraffa di un litro. Calcolare la velocità dell’acqua, durante il riempimento della caraffa sia nel rubinetto che nel tubo a livello stradale. Calcolare inoltre la pressione dell’acqua al primo piano.
[Risovere il problema nel caso particolare d = 2,5 cm, p = 1,3 cm e h = 3,5 m, ricordando che 1 bar = 10^5 Pa.]
Risooluzione ragionata
Calcolare la portata e quindi la velocità al piano superiore, applicare quindi l’equazione di continuità per trovare la velocità dell’acqua al livello della strada. Infine applicare l’equazione di Bernoulli per calcolae la pressione al piano superiore.
Esempio 2.1.- Temperatura e scale termometriche., dilatazione lineare e volumica- Le temperature di masse uguali di tre liquidi differenti A, B e C sono rispettivamente di 15, 22 e 28 °C. Quando A e B vengono mescolati, la temperatura è di 19 °C. Quando si mescolano B e C, diventa 25 °C. Quale sarà la temperatura se si mescolano A e C?
Risoluzione
Tenuto conto della formula della temperatura di equilibrio e del fatto che le masse dei liquidi sono uguali, indicati con \[c_{A},\, c_{B},\, c_{C}\] i coefficienti specifici del calore dei tre liquidi, si ha:
\[T_{e}(A,B)=\frac{c_{A}T_{A}+c_{B}T_{B}}{c_{A}+c_{B}}\Rightarrow 19^{\circ}=\frac{c_{A}\cdot 15^{\circ}+c_{B}\cdot 22^{\circ}}{c_{A}+c_{B}}\]
\[T_{e}\left ( B,C \right )=\frac{c_{B}T_{B}+c_{C}T_{C}}{c_{B}+c_{C}}\Rightarrow 25^{\circ}=\frac{c_{B}\cdot 22^{\circ}+c_{C}\cdot 28^{\circ}}{c_{B}+c_{C}}\]
da cui si ha:
\[\left\{\begin{matrix} c_{A} & =\frac{3}{4}c_{B}\\ c_{C} & =c_{B} \end{matrix}\right.\]
\[T_{e}(A,C)=\frac{c_{A}\cdot T_{A}+c_{C}\cdot T_{C}}{c_{A}+c_{C}}\Rightarrow T_{e}(A,C) =\frac{c_{A}\cdot 15^{\circ}+c_{C}\cdot 28^{\circ}}{c_{A}+c_{C}}\]
Di conseguenza, tenuto conto delle relazioni tra i coefficienti del calore specifico su indicate, si ha
\[T_{e}(A,C) =\frac{\frac{3}{4}c_{B}\cdot 15^{\circ}+c_{B}\cdot 28^{\circ}}{\frac{3}{4}c_{B}+c_{B}}=\frac{157^{\circ}}{7}=22,4^{\circ}\]
Esempio 3.1.- Gas perfetti e legge di Avogadro (legge di Boyle, leggi di Gay-Lussac, equazione di stato del gas perfetto).- Una siringa ben tappata è chiusa da uno stantuffo lubrificato e contiene 0,80 ml di aria alla temperatura ambiente di 20°C. La siringa così predisposta viene introdotta in un freezer dove la temperatura è mantenuta a -18 °C. Stabilire il volume dell’aria nella siringa al momento dell’equilibrio termico. Tratto da Amaldi
Risoluzione
Come prima cosa trasformiamo i valori delle temperatura iniziale e finale in gradi Kelvin.
Si ha:
$\displaystyle T=(273,15\, ^{\circ}C\, +20\, ^{\circ}C)\frac{K}{^{\circ}C}=293,15\, K;\, \, T=(273,15\, ^{\circ}C\, -18\, ^{\circ}C)\frac{K}{^{\circ}C}=255,15K$
Quindi applichiamo la prima legge di Gay Lussac $\displaystyle V_{f}=\frac{V_{i}}{T_{i}}T_{f}$ ( a pressione costante) e si ha:
$\displaystyle V_{f}=\frac{0,8\, ml}{293,15\, K}\left ( 255,15\, K \right )=0,8\, ml\cdot 0,87037=0,69\, ml \approx 0,7\, ml$
Esempio 4.1.-Calore e caloria, capacitàj termica e calore specifico, calorimetro, e potere calorifico- Uno studente mangia per cena una quantità di cibo corrispondente a 2000 Calorie. Va in palestra dove vuole fare un lavoro equivalente sollevando una massa di 50 kg. Quante volte deve alzare la massa per l’altezza di 2 m per spendere tutta l’energia. Si assuma che quando riporta già massa spende un’energia pari alla metà di quando lo innalza.
Esempio 5.1.- Modello microscopico del gas perfetto e energia interna e aggregazione della materia (stati)
Esempio 6.1.- Fusione, solidificazione, vaporizzazione (ebolizzione ed evaporizzazione), vapore gas e diagramma di fase, temperatura di ebolizzione, pressione di vapore saturo, umidità relativa, sublimazione