Sia C l’insieme dei numeri complessi e z un elemento di C. Dati due sottoinsiemi I e J di C si dice funzione complessa una legge, indicata con f, che ad ogni elemento z di I associ uno ed un solo elemento w di J e si scrive:
w = f(z)
Se indichiamo z e w nella forma algebrica z = x + iy e w = u + iv la funzione f(z) la possiamo scrivere nel seguente modo:
\[w=f(z)=f(x,y)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)\]
cioè la funzione complessa f di variabile complessa z si può riguardare come una funzione complessa di due variabili reali x e y, e si può indicare anche così:
essendo i l’unità immaginaria $\displaystyle i^{2}=-1$; u(x,y) si dice la parte reale e v(x,y) la parte immaginaria della funzione f.
Alle funzioni complesse si possono estendere le nozioni di limite di una funzione, di continuità e di derivata di una funzione.
Vedi anche funzioni elementari complesse
Definizione di limite.
Sia w= f(z) una funzione complessa definita in $\displaystyle I\subseteq C$ e sia $\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}$ un punto di accumulazione per l’insieme I. Si dice che la funzione f(z) converge in $\displaystyle z_{0}$ al limite l = h + ik se è verificata la seguente proprietà:
$\displaystyle \forall \epsilon \in \left ( 0,+\infty \right )\, \, \exists\, \, \delta _{\epsilon }\in \left ( 0,+\infty \right ):\forall z\in I\, e\, \, 0<\left | z-z_{0} \right |<\delta _{\epsilon }\, \, \, \, \, \left | f(z)-l \right |<\epsilon$
e si scrive:
$\displaystyle z\rightarrow z_{0}\Rightarrow f(z)\rightarrow l$
o anche
1) $\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}f(z)=l$
Analogamente si dà la definizione di limite all’infinito in un insieme I non limitato.
Funzione continua (Definizione)
Una funzione si dice continua in $\displaystyle z_{0}$ se
$\displaystyle 2)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \lim_{z\rightarrow z_{0}}f(z)=f(z_{0})$
ove $\displaystyle z_{0}\in I$ ed è un punto di accumulazione per I; si dice che f è continua in I se la (2) è verificata per ogni $\displaystyle z_{0}\in I$ .
Ricordiamo poi il teorema:
\[\textit{f continua}\Leftrightarrow \textit{sono continue le funzioni reali u e v}\]
Funzioni olomorfe (Definizione)
Sia \[f(z)=f(x,y)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)\]una funzione complessa della variabile complessa z definita in un campo A e sia z un punto di A, $\displaystyle \delta (z)$ la distanza positiva di z dalla frontiera di A, FA.
Detto $\displaystyle \Delta z=\Delta x+i\Delta y$ un incremento complesso per il punto $\displaystyle z+\Delta z$ appartiene ancora ad A, se $\displaystyle \Delta z<\delta \left ( z \right )$, e dunque si può considerare l’incremento della funzione complessa f(z):
$\displaystyle \Delta f=f\left ( z+\Delta z \right )-f(z)=\Delta u+i\Delta v$
Se esiste finito il limite:
$\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}\frac{\Delta f}{\Delta z}$
si dice che la funzione complessa f è derivabile in z. Si dice poi che che f è derivabile in A se è derivabile in ogni punto di A.
Teorema Fondamentale.- Condizione necessaria e sufficiente affinché la funzione $\displaystyle f(z)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)$ , definita nel campo A, sia derivabile in un punto $\displaystyle z=x+iy$ di A è che le due funzioni reali u e v siano differenziabili nel punto z e che le loro derivate parziali verifichino le condizioni:
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y};\, \, \, \, \, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$
Le condizioni:
3) $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$
sono equivalenti alla:
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{i}\cdot \frac{\partial f}{\partial y}$
e si dicono condizioni di olomorfia o di monogeneità e si chiamano anche condizioni di Cauchy Riemann.
Pertanto si può definire una nuova funzione, funzione derivata di f, nel seguente modo:
4) $\displaystyle f’\left ( z \right )=\lim_{z\rightarrow z_{0}}\frac{\Delta f}{\Delta z}$
Una funzione f definita in un campo A e derivabile in ogni punto di A si dice monogena od olomorfa in A. In tal caso le condizioni 3) sono delle identità in A.
Teorema di Goursat: La derivata di una funzione olomorfa in un campo A è olomorfa in A.
Teorema: Una funzione olomorfa in un campo A è dotata in A di derivata di qualsiasi ordine.
Teorema: La parte reale ed il coefficiente dell’immaginario di una funzione olomorfa in un campo A sono soluzioni in A dell’equazione
5) $\displaystyle \frac{\partial^2 \phi }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi }{\partial y^2}=0$
L’equazione 5) è alla derivate parziali, del secondo ordine, e prende il nome di equazione di Laplace. Ogni soluzione della 5) si dice una funzione armonica e dunque la parte reale e il coefficiente dell’immaginario di una funzione olomorfa sono funzioni armoniche.
Teorema.- Se f(z) è una funzione olomorfa in un campo connesso A e se la sua derivata prima si annulla in A, per ogni z di A, la f(z) è costante in A.
Differenziale di una funzione olomorfa.- Se f è una fuznione olomorfa il suo differenziale è definita da
$\displaystyle df=f'(z)\Delta z$
ossia $\displaystyle df=f'(z)dz$ , visto che per f = z si ha $\displaystyle \Delta z=dz$.
Teorema del differenziale.- La differenza tra l’incremento ed il differenziale di una funzioine olomorfa è infinitesima di ordine superiore rispetto all’incremento della variabile indipendente.