Si dice integrale indefinito di una funzione y = f(x) definita e continua nell’intervallo chiuso [a, b] l’insieme di tutte le primitive di f(x), e si indica con il simbolo: \[\int f(x)dx=F(x)+c\]ove F(x) è una qualsiasi primitiva di f(x), ossia una funzione tale che la sua derivata è proprio f(x), e c una costante reale. In pratica risulta: \[{(F(x)+c)}’=f(x),\, \, \, \, \forall x\in [a,b]\] Proprietà degli integrali indefiniti \[\int f(x)\pm g(x)dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx\] \[\int k\cdot f(x)dx=k\cdot \int f(x)dx\]Tabella degli integrali immediati \[\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c,\, \, \, \, \, \forall n\neq -1\]\[\int \frac{1}{x}dx=ln\left | x \right |+c\]\[\int e^{x}dx=e^{x}+c\]\[\int a^{x}dx=a^{x}log_{a}\, e+c=\frac{a^{x}}{ln\, a}+c\]\[\int senxdx=-cosx+c\]\[\int cosxdx=senx+c\]\[\int \frac{1}{cos^{2}x}dx=\int \left ( 1+tan^{2}x \right )dx=tanx+c\]\[\int \frac{1}{sen^{2}x}dx=\int \left ( 1+cot^{2}x \right )dx=-cotx+c\]\[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arcsenx+c\]\[\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arccosx+c\]\[\int \frac{1}{1+x^{2}}dx=arctanx+c\]\[\int -\frac{1}{1+x^{2}}dx=arccot\, x+c\] \[\int senh\, xdx=cosh\, x+c\]\[\int cosh\, xdx=senh\, x+c\]\[\int \frac{1}{cosh^{2}\, x}dx=tanh\, x+c\]\[\int \frac{1}{senh^{2}\, x}dx=-coth\, x+c\]\[\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}dx=ln\left | x+\sqrt{1+x^{2}} \right |+c=sett\, senh\, x+c\]\[\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}dx=ln\left | x+\sqrt{x^{2}-1} \right |+c=sett\, cosh\, x+c\]\[\int \frac{1}{1-x^{2}}dx=\frac{1}{2}ln\left | \frac{1+x}{1-x} \right |+c=sett\, tanh\, x+c\]
La suddetta tabella si può generalizzare sostituendo x con f(x) e moltiplicando la funzione integranda per f'(x):\[\int {f(x)}’f(x)^{n}dx=\frac{f(x)^{n+1}}{n+1}+c,\, \, \, \forall n\neq -1\] \[\int \frac{{f(x)}’}{f(x)}dx=ln\left | f(x) \right |+c\]
La tabella completa si può consultare qui
Esempio 1.- Calcolare l’integrale \[\int (senx+e^{x})dx\]
Si ha: \[\int (senx+e^{x})dx=\int senxdx+\int e^{x}dx=-cosx+e^{x}+c\]
Esempio 2.- Calcolare l’integrale \[\int (\sqrt{x}-3x-1)dx\]
Si ha: \[\int (\sqrt{x}-3x-1)dx=\int \sqrt{x}dx-3\int xdx-\int dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx-3\frac{x^{2}}{2}-x=\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-\frac{3}{2}x^{2}-x+c=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}x^{2}-x+c=\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}-\frac{3}{2}x^{2}-x+c\]
Esempio 3.- Calcolare l’integrale: \[\int \frac{dx}{x\, ln^{2}x}\]
Si ha: \[\int \frac{dx}{xln^{2}x}=\int \frac{1}{x}ln^{-2}xdx=\frac{ln^{-2+1}x}{-2+1}+c=-\frac{1}{lnx}+c\]
Esempio 4.- Calcolare la primitiva della funzione \[y=x^{2}+\frac{1}{x}\] che nel punto x = 1 assume valore y = 0.
Calcoliamo preliminarmente l’integrale indefinito della funzione data: \[\int x^{2}+\frac{1}{x}dx=\int x^{2}dx+\int \frac{1}{x}dx=\frac{x^{3}}{3}+ln\left | x \right |+c\]
Quindi calcoliamo il valore della costante c sostituendo x = 1 e y = 0 nell’integrale generale \[F(x)=\frac{x^{3}}{3}+ln\left | x \right |+c\] che rappresenta la famiglia di tutte le primitive della funzione assegnata. Si ha: \[F(1)=0\, \, \, \Rightarrow\, \, \, \frac{(1)^{3}}{3}+ln\left | 1 \right |+c=0\, \Rightarrow\, c=-\frac{1}{3}\] In definitiva la primitiva richiesta è: \[F(x)=\frac{x^{3}}{3}+ln\left | x \right |-\frac{1}{3}\]
Esempio 5.- Se non hai capito bene l’esempio 4 prova a vedere il seguente video, l’integrale è un po’ più avanzato rispetto a quelli di questa pagina, ma il calcolo della primitiva che soddisfa alla condizione assegnata è analogo a quello dell’esempio 4.
Metodi d’integrazione
Per risolvere un integrale, o integrarlo, la prima cosa da fare è vedere se è immediato, ovvero se figura nella tabella suddetta, oppure se è riconducibile mediante le proprietà degli integrali indefiniti, alla somma di più integrali immediati o più facilmente calcolabili.
In pratica si utilizzano degli artifici che si chiamano metodi d’integrazione.
Quelli più comuni sono:
- Metodo d’integrazione per decomposizione 3
- Metodo d’integrazione per sostituzione 4
- Metodo d’integrazione per parti 5
- Metodo d’integrazione di una funzione razionale fratta 6
- Integrazione di alcune funzioni irrazionali 7
- Altri metodi.
Per vedere alcuni esercizi svolti puoi consultare il mio canale Youtube