Semplice. Eulero in risposta ad una lettera di Goldbach affermò:
“Ogni numero pari maggiore di 4 è somma di due numeri primi”
Ad esempio, 24 = 13 + 11, 36 = 19 + 17… ecc.
Oggi tale congettura ancora non è dimostrata, anche se è noto che fino ad un certo N è vera.
Una proprietà semplice (fig.1) è la seguente: Sia n > 1 un numero naturale, la somma di due numeri primi diversi fra loro è uguale a 2n se e solo se i due primi sono simmetrici rispetto ad n.
I teoremi di Chen:
Il matematico cinese Chen Jing-run dimostrò invece la:
Congettura debole di Goldbach (1974): Ogni numero pari “abbastanza grande” è la somma di un numero primo e un numero quasi primo (cioè prodotto di due primi).
Un altro teorema di Chen: Esiste un numero infinito di coppie di numeri che differiscono di 2 in cui il primo numero è primo e il secondo è o primo o un prodotto di due primi (1966).
Altri teoremi riguardanti la congettura di Goldbach:
a) Esiste almeno un numero primo fra un qualsiasi numero n >1 e il suo doppio 2n.
b) Esistono almeno 3 numeri primi aventi esattamente n cifre, ove n è un numero intero positivo qualsiasi.
c) Esiste un intero n > 0 tale che da un certo punto ogni naturale (pari e dispari) è somma di al più n primi (Shinirllman, 1930
Altre congetture:
b) Esiste almeno un numero primo tra un numero n >1 e il suo quadrato $\displaystyle n^{2}$ .
c) Ci sono infiniti i numeri primi della forma $\displaystyle n^{2}+1$
d) Esiste sempre un numero primo tra $\displaystyle n^{2}$ e $\displaystyle \left ( n+1 \right )^{2}$