Nozione di commensurabilità tra segmenti e problemi di geometria elementare

La nozione di commensurabilità tra segmenti è molto utile anche per la risoluzione di alcuni problemi di geometria elementare. In particolare, permette di risolverli senza l'uso di equazioni e proporzioni.
Ricordiamo che due segmenti AB e CD si dicono commensurabili se esiste un segmento u che entra m volte in AB e n volte in CD, con m ed n interi positivi.

E' evidente che:

AB = m × u   

CD = n × u

AB/CD = m/n

AB + CD = (m + n) × u

AB - CD = (m - n) × u

E' utile anche ricordare le seguenti equivalenze:

commensurabil_1

Esempio 1.- Determinare la misura di due segmenti sapendo che il loro rapporto è 5/4 e la loro somma è 27.

Detti AB e CD i due segmenti risulta:  AB/CD = 5/4,      AB + CD = 27.
Dall'essere AB/CD = 5/4 si evince, per la commensurabilità dei segmenti AB e CD, che esiste un segmento u che entra 5 volte in AB e 4 volte in CD e, di conseguenza, 9 volte in AB + CD.
Pertanto, si può calcolare la misura di u con la divisione:

(AB + CD) diviso 9.

Si ha dunque

 u = 27/ 9 = 3,

e

AB = 5 × 3 = 15     e    CD = 4 × 3 = 12.

Esempio 5.- Determinare la misura di tre segmenti sapendo che i primi due sono uguali, il terzo è i 5/4 del
primo e la somma dei tre segmenti è 65.
Risultato: 25 e 20 e 20

Esempio 6.- Determinare la misura di tre segmenti sapendo che il rapporto tra il primo e il secondo è 5/4, il rapporto tra il primo e il terzo è 1/2 e la somma è 76.
Risultato: 20 e 16 e 40

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