Un numero si dice perfetto se è la somma dei suoi divisori, escluso il numero stesso e incluso l’unità
Ad esempio, il numero 6 è perfetto poichè la somma dei suoi divisori 1, 2, 3 dà 6:
1+ 2 + 3 = 6.
I Greci conoscevano soltanto i seguenti 4 numeri perfetti: 6, 28, 496, 8128.
Il quinto numero perfetto è 33550336 e fu trovato all’incirca nel XV secolo.
Quello che a tutt’oggi ancora non si sa è se i numeri perfetti sono tutti pari o no.
Fino ad oggi non è stato trovato alcun numero perfetto dispari ma non esiste un teorema che lo provi inequivocabilmente.
Euclide nel 300 a. C. riuscì a dimostrare il seguente teorema:
1) $\displaystyle 2^{n-1}\cdot\left ( 2^{n}-1 \right )$ è un numero perfetto
se $\displaystyle 2^{n}-1$ è un numero primo.
La difficoltà sta nel capire se il numero $\displaystyle 2^{n}-1$ è primo o no per un certo valore di n. Eulero dimostrò 2000 anni dopo Euclide: Ogni numero perfetto pari è della
forma $\displaystyle 2^{n-1}\cdot\left ( 2^{n}-1 \right )$ se n primo; il che equivale a dire che la ricerca dei numeri perfetti equivale a trovare i primi di Mersenne, numeri primi del tipo $\displaystyle 2^{n}-1$ con n primo. Ricordiamo che i numeri perfetti pari terminano in 6 oppure in 8 (anche se non alternativamente).
Riporto qui di seguito l’elenco dei 30 numeri perfetti oggi conosciuti:
6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 123438691328,
2305843008139952128
ottenuti dalla formula (1), rispettivamente per
n = 2, n =3, n = 5 n = 7 n = 13 n =16, n = 19 n = 31
Tutti gli altri si ottengono dalla formula (1) per:
n = 61, n = 89, n = 107, n = 127, n = 521, n = 607, n = 1279, n = 2203,
n = 2281, n = 3217, n = 4253, n = 4423, n = 9689, n = 9941, n = 11213,
n = 19937, n = 21701, n = 23209, n = 44497,
n = 86243, n = 132049, n = 216091.
Sono stati trovati altri 16 numeri perfetti e ulteriori 4 ancora più grandi per
n = 57885161, n = 74207281, n = 77232917, n = 82589933 (scoperto nel 2018).
Non sono stati trovali al momento numeri perfetti dispari: nel 1888 Sylvester provò che
ogni numero perfetto dispari deve avere almeno 4 fattori primi distinti, poi migliorò i suoi risultati arrivando a 5 fattori primi; nel corso degli anni, questo numero è diventato sempre più grande fino ad oggi. Attualmente si sa che un eventuale numero perfetto dispari deve avere almeno 8 fattori primi distinti e almeno 29 fattori primi non necessariamente distinti. Tale numero deve inoltre avere più di 300 cifre e un divisore primo maggiore di 106.