$\displaystyle 2^{67}-1=$ 147 573 952 589 676 412 927
non è primo poiché è il prodotto dei seguenti due numeri:
193707721 x 761838257287.
Euclide circa 23 secoli fa riuscì a dimostrare che esistono infiniti numeri primi ( Prova a dimostrarlo ), ma a tutt’oggi non esiste una formula che permette di calcolare al variare di n tutti i numeri primi.
O sì?
[E’ reperibile in rete una nuova dimostrazione del teorema di Euclide sull’esistenza di infiniti numeri primi..]
Per capire se un numero è primo, oltre al famoso crivello di Eratostene si può applicare anche il famoso
Teorema di Wilson: “n è primo se e solo se n divide (n – 1)! + 1”.
Per esempio 7 è primo perché divide 6! + 1 = 721.
Ricordiamo anche Il Piccolo Teorema di Fermat (PTF) utilissimo per cercare numeri primi:
Piccolo Teorema di Fermat (PTF):
Sia m un intero positivo qualsiasi. Se p è un numero primo che non divide m, allora p divide $\displaystyle m^{\left ( p-1 \right )}-1$.
Per esempio 17 divide $\displaystyle 65535= 2^{\left ( 17-1 \right )}-1=2^{16}-1$.
Una stranezza: sotto il numero 10 ci sono quattro primi (2, 3, 5, 7 ), sotto il numero 100 ve ne sono ventiquattro e sotto 1000 ve ne sono centosessantotto; ci sono tre numeri primi tra i cento numeri dopo 10 milioni. Ancora più strano: la frequenza dei numeri primi diminuisce al crescere del numero stesso. Siamo dinanzi alla ben nota legge di rarefazione dei numeri primi: diventano sempre più rari man mano che ci si sposta verso l’infinito ( Dimostrare).
Se indichiamo con P (N) il numero dei numeri primi più piccoli di N e con $\displaystyle D_{N}$ la densità dei numeri primi inferiori ad N, si ottiene:
$\displaystyle D_{N}=\frac{P(N)}{N}\approx \frac{1}{ln N}$
ove ln (N) è il logaritmo naturale di N; con N che tende all’infinito $\displaystyle D_{N}$ tende a zero.
Esistono anche le progressioni di numeri primi e i matematici credono che si possano trovare progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe.
Ad esempio: 199, 409, 619 829, 1039 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 è una progressione aritmetica di ragione 210.
E’ stato dimostrato nel 1944 che esistono un numero infinito di tre numeri primi in progressione aritmetica.
E’ semplice rendersi conto che:
Non esistono progressioni aritmetiche di numeri primi di ragione un numero primo diverso da 2 o soltanto dispari.
Da poco tempo è stato scoperto il più grande numero primo: è un numero di 6.320.430 cifre: scritto sarebbe lungo 20 chilometri.
La scoperta è stata fatta da Michael Shafer, 26 anni, studente di ingegneria chimica della Michigan State University (Usa).
I numeri primi sono alla base della matematica, fanno parte della teoria dei numeri e oggi sono impiegati per generare dei modelli fisici ma soprattutto per creare nuovi codici segreti di cui hanno bisogno i militari e le avanzate tecnologie delle comunicazioni per garantire la sicurezza delle trasmissioni.
Ad esempio i pagamenti con carta di credito sono sicuri proprio grazie all’utilizzo di questi numeri.
Scoperto (23 agosto 2008) un numero primo con 13 milioni di cifre, si ottiene prendenod per n il numero primo 43.112.609, ottenuto dalla formula di Mersenne $\displaystyle 2^{n}-1$.
Intanto sono stati scoperti altri numeri primi di Mersenne, ora sono 51, l’ultimo è stato scoperto nel 2018 e si ottiene per n = 82589933.
Aderiamo al progetto G.I.M.P.S per la ricerca dei numeri primi di Mersenne.
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