Verifica di un limite

Uno degli esercizi spesso assegnato sui limiti è la verifica di un limite. Altri esercizi svolti li puoi consultare sul mio canale Youtube Matematica Facile.

Esempio 1.- Verificare il seguente limite \[1)\, \, \, \, \, \, \lim_{x\rightarrow 2}(2x+5)=9\]

Risoluzione

Cosa bisogna fare per vedere se il limite dato è vero? Bisogna applicare la definizione di limite, e visto che la x tende ad un valore finito (x tende a 2) e il limite è finito (L = 2), bisogna verificare che \[\forall \, \varepsilon> 0\, \, \, \exists\, \, I_{2 }\, \, :\, \, \forall\, x\, \in (I_{2 }-\left \{ 2 \right \})\cap D_{f}\, \, \, \left | 2x+5-9 \right |<\varepsilon\]
In pratica bisogna risolvere la disequazione \[\left | 2x+5-9 \right |<\varepsilon\] e verificare se le sue soluzioni sono un intorno di 2 per ogni $\varepsilon >0$, in caso affermativo il limite (1) è vero, altrimenti falso. Andiamo dunque a risolvere la disequazione \[\left | 2x+5-9 \right |<\varepsilon\] ossia \[\left | 2x-4 \right |<\varepsilon\] e si ha:

\[\left|2x-4 \right|<\varepsilon \, \, \rightarrow\, \, -\varepsilon <2x-4<\varepsilon \, \, \rightarrow\, \, -\varepsilon +4<2x<\varepsilon +4\, \rightarrow \frac{-\varepsilon+4 }{2}<x<\frac{\varepsilon +4}{2}\,\, \rightarrow 2-\frac{\varepsilon }{2}<x<2+\frac{\varepsilon }{2}\]

Allora il limite è vero?

Esempio 2.- Verificare se il seguente limite è vero  \[\lim_{x\rightarrow 1 }(2x+5)=-8\]

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Esempio 2.1.- Verificare se il seguente limite è vero  \[\lim_{x\rightarrow 1}\left ( x^{2} -2x+2\right )=1\]

Esempio 3.1.- Verificare il seguente limite \[\lim_{x\rightarrow -3}\frac{2}{\left ( x+3 \right )^{2}}=+\infty\]

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Esempio 3.2.- Vedi un altro video

Esempio 3.3.-Verificare il seguente limite: \[\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3x-15}{2x}=-6\]

Risoluzione ragionata

Bisogna risolvere la disequazione $\displaystyle \left | \frac{3x-15}{2x}-(-6) \right |<\varepsilon$ e verificare se il suo insieme soluzione è un intorno di 1 per ogni $\displaystyle \varepsilon >0$. 

Esempio 4.- Verificare il seguente limite \[\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x+5}{x-1}=1\]

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Esempio 5.- Verificare il seguente limite \[\lim_{x\rightarrow 1 }\sqrt{x+8}=3\]

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Esempio 6.- Verificare il seguente limite \[\lim_{x\rightarrow 4 }\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}=4\]

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Esempio 6.1-Verifica se il seguente limite è vero \[\lim_{x\rightarrow -1} \frac{3x-5}{x}=-7\]

Risultato: [ Il lmite è falso]

Esempio 7.- Verificare il seguente limite \[\lim_{n}\frac{2n-1}{1-3n}=-\frac{2}{3}\]

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Esempio 8.- Verificare il seguente limite \[\lim_{n}\frac{n+1}{3n}=\frac{1}{3}\]

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Esempio 9.- Verificare i seguenti due limiti \[\displaystyle \lim_{x \to 2^{-}}\sqrt{4-2x}=0,\, \, \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}\frac{1}{2-2^{x}}=-\infty ,\]

Risoluzione

Per verificare il primo limite bisogna risolvere la disequazione \[\left|\sqrt{4-2x}-0 \right|<\varepsilon \rightarrow \left|\sqrt{4-2x} \right|<\varepsilon\] e verificare che il suo insieme soluzione è un intorno sinistro di 2 per ogni epsilon positivo. Si ha:

\[\sqrt{4-2x}<\varepsilon \, \, \rightarrow \, \, 0<4-2x<\varepsilon^{2}\rightarrow …\]

Volevo farti uno scherzo e farti fare gli ultimi passaggi… ma alla fine mi sono pentito e li faccio io…Dunque si ha:

\[2-\frac{\varepsilon ^{2}}{2}<x<2\] e intersecato con il dominio della funzione, definita per $x\leq 2$, dà un intorno sinitro di 2. Pertanto il limite dato è verificato.

 

Esempio 10.- Verificare i seguenti due limiti \[\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{1}{ln\left ( \left| x\right|+1 \right )}=0,\, \, \, \displaystyle \lim_{x \to +\infty }\left ( 1+\sqrt[3]{x-1} \right )=+\infty \]

\[\displaystyle \lim_{x \to \infty }\sqrt[5]{2-3x^{3}}=\infty \]

\[\displaystyle \lim_{x \to \infty }log_{2}\, x^{2}=+\infty \]

Risoluzione

Per verificare il primo limite bisogna risolvere la disequazione \[\left|\frac{1}{ln\left ( \left|x \right| +1\right )} -0\right|<\varepsilon \, \, \rightarrow\, \, \left|\frac{1}{ln\left ( \left|x \right| +1\right )}\right|<\varepsilon \] e verificare che il suo insieme soluzione è un intorno sinistro di infinito, per ogni epsilon positivo. Considerato che un intorno di infinito è l’unione di un intorno di più infinito e di un intorno di meno infinito conviene, onde semplificare la risoluzione della suddetta disequazione, verificare prima il limite in un intorno di più infinito e poi in uno di meno infinito.
In un intorno di più infinito, $I_{+\infty }$, si deve risolvere la disequazione:

\[\left| \frac{1}{ln\left ( x+1 \right )}\right|<\varepsilon \] da cui si  ha:

\[\frac{1}{ln\left ( x+1 \right )}<\varepsilon \, \, \rightarrow \: \: ln(x+1)>\frac{1}{\varepsilon }\, \, \rightarrow\, \,\, x+1>e^{\frac{1}{\varepsilon }}\, \, \rightarrow \, \, \, x>-1+e^{\frac{1}{\varepsilon }}\]

e l’insieme soluzione ottenuto è un intorno di più infinito per ogni epsilson positivo. Quindi il limite è vero in un intorno di più infinito.
Bisogno ora provare che lo stesso limite vale in un intorno di meno infinito, ma si dà il caso che io sia stanco e dispettoso… dunque lascio a Te il compito di farlo…


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