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Relazione binaria e proprietà

Relazione binaria e proprietà

Una relazione $\displaystyle \Re$ definita in \[S\times S=S^{2}\] si dice binaria in S.
Se x, y sono elementi che stanno nella relazione $\displaystyle \Re$ si scrive \[x\Re y\] e si legge ” x è in relazione $\displaystyle \Re$  con y”, mentre si scrive \[x\not{\Re } y\] per indicare che x non è in relazione $\displaystyle \Re$ con y.
Ricordiamo che una relazione $\displaystyle \Re$ è un sottoinsieme di $\displaystyle S^{2}$ e quindi gli elementi di $\displaystyle \Re$  sono le coppie ordinate di $\displaystyle S^{2}$ (x,y) tali che $\displaystyle x\Re y$ .

Proprietà di una relazione
Una relazione binaria $\displaystyle \Re$ definita in S può essere:

Riflessiva:

Simmetrica:

Transitiva:

Asimmetrica:

Antiriflessiva:

Antisimmetrica:

Relazione d’equivalenza
Una relazione $\displaystyle \Re$ binaria in un insieme S che sia riflessiva, simmetrica e transitiva si dice relazione d’equivalenza in S
In tal caso se x e y sono in relazione $\displaystyle \Re$, cioè $\displaystyle x\Re y$ , si dice che x ed y sono equivalenti.
Tutti gli elementi y di S equivalenti ad x formano un sottoinsieme di S che si dice classe d’equivalenza e si indica con il simbolo [x].

Risulta: $\displaystyle x\Re y$  se e sole se [x] = [y]