Una relazione $\displaystyle \Re$ definita in \[S\times S=S^{2}\] si dice binaria in S.
Se x, y sono elementi che stanno nella relazione $\displaystyle \Re$ si scrive \[x\Re y\] e si legge ” x è in relazione $\displaystyle \Re$ con y”, mentre si scrive \[x\not{\Re } y\] per indicare che x non è in relazione $\displaystyle \Re$ con y.
Ricordiamo che una relazione $\displaystyle \Re$ è un sottoinsieme di $\displaystyle S^{2}$ e quindi gli elementi di $\displaystyle \Re$ sono le coppie ordinate di $\displaystyle S^{2}$ (x,y) tali che $\displaystyle x\Re y$ .
Proprietà di una relazione
Una relazione binaria $\displaystyle \Re$ definita in S può essere:
Riflessiva:
Simmetrica:
Transitiva:
Asimmetrica:
Antiriflessiva:
Antisimmetrica:
Relazione d’equivalenza
Una relazione $\displaystyle \Re$ binaria in un insieme S che sia riflessiva, simmetrica e transitiva si dice relazione d’equivalenza in S
In tal caso se x e y sono in relazione $\displaystyle \Re$, cioè $\displaystyle x\Re y$ , si dice che x ed y sono equivalenti.
Tutti gli elementi y di S equivalenti ad x formano un sottoinsieme di S che si dice classe d’equivalenza e si indica con il simbolo [x].
Risulta: $\displaystyle x\Re y$ se e sole se [x] = [y]