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Alcune importanti distribuzioni di probabilità

 

1.1.- La distribuzione uniforme discreta
Si ha una variabile casuale con distribuzione uniforme quando la variabile X assume valori 1, 2, 3,…, n e le probabilità sono tutte uguali tra loro ad 1/n. Tale distribuzione dipende solo dal parametro n.

Nota
Il valore medio e la varianza sono: \[\mu=M\left ( X \right ) =\frac{1+n}{2}\] \[Var\left ( X \right ) =\frac{n^{2}-1}{12}\]

1.2.-Distribuzione binomiale o di Bernoulli.
Sia p è la probabilità che l’evento E si verifichi k volte su n prove e q la probabilità dell’evento contrario ad E. La variabile casuale di tipo binomiale è una variabile la cui distribuzione di probabilità è del tipo:

\[p_{n,k}=\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}\]

con k = 0, 1, 2,…, n e 0 < p < 1, q = 1 – p.

Nota 
.

1.3.-Distribuzione del Poisson
Si ha una variabile casuale con distribuzione del Poisson quando i valori assunti dalla variabile sono tutti gli interi 0, 1, 2, …k,…fino all’infinito e la distribuzione è: \[p_{k}=e^{-\lambda }\cdot \frac{\lambda ^{k}}{k!}\]

con k = 0, 1, 2, … ,.

Nota \[M(X)=Var(X)=\lambda\]

1.4.-Disuguaglianza di Bienaymé Cebicev
Data una variabile casuale X di valore medio e varianza . La probabilità che i valori assunti da X differiscono dal valor medio m, in valore assoluto, di una quantità non minore di , piccolo a piacere,
è minore o uguale al rapporto tra la varianza e il quadrato di e, cioè:

1.5.-Teorema di Bernoulli
Questo teorema è, nel caso di una distribuzione binomiale, una conferma della legge empirica del caso.