Alcuni particolari integrali immediati

Calcolare i seguenti integrali:

\[\int \frac{1}{x}\cdot ln^{3}x\, dx,\, \, \int \frac{dx}{x\cdot lnx},\, \, \int \frac{1}{x\sqrt{lnx}}dx\]

\[\int \frac{dx}{x\left ( 1+ln^{2}x \right )},\, \, \int cosx\cdot sen^{4}x\, dx,\, \, \int \frac{dx}{cos^{2}x\left ( 1+tan^{2}x \right )}\]

Il primo è un integrale immediato che rientra nella seguente regola \[\int f'(x)f(x)^{n}dx=\frac{f(x)^{n+1}}{n+1}+c,\, \, \forall n\neq -1\]

Quindi osservato che n = 3 e che la derivata della funzione ln x è proprio 1/x si ha: \[\int \frac{1}{x}ln^{3}xdx=\frac{ln^{4}x}{4}+c\]

Il secondo è un integrale immediato che rientra nella seguente regola \[\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=ln\left | f(x) \right |+c\]

con f(x) = ln x e f ‘(x) = 1/x. Quindi si ha \[\int \frac{1}{x\cdot lnx}dx=\int \frac{\frac{1}{x}}{lnx}dx=ln\left | lnx \right |+c\]

Il terzo rientra nella regola applicata per il primo integrale con \[f(x)=lnx,\,\, f'(x)=\frac{1}{x},\, \, n =-\frac{1}{2}\]

Quindi si ha:

\[\int \frac{1}{x\cdot \sqrt{lnx}}dx=\int \frac{\frac{1}{x}}{ln^{\frac{1}{2}}x}dx=\int \frac{1}{x}\left ( lnx \right )^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{\left ( lnx \right )^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+c=2(lnx)^{\frac{1}{2}}+c=2\sqrt{lnx}+c\]

Il quarto integrale rientra nella seguente regola \[\int \frac{f'(x)}{1+f(x)^{2}}dx=arctanf(x)+c\]

Si tratta dunque di un integrale immediato con f(x) = ln x e f'(x) = 1/x e si ha \[\int \frac{dx}{x\left ( 1+ln^{2}x \right )}=\int \frac{\frac{1}{x}}{1+ln^{2}x}dx=arctan(lnx)+c\]

Il quinto integrale è immediato e rientra in quella utilizzata per il primo integrale assegnato con f(x) = sen x, f ‘(x) = cosx e n = 4. Quindi si ha \[\int cosx\cdot sen^{4}x\, dx=\frac{sen^{5}x}{5}+c\]

Il sesto integrale immediato rientra nella regola utilizzata per il quarto con \[f(x)= tanx, \, \, \, f'(x)=\frac{1}{cos^{2}x}\]

Pertanto si ha: \[\int \frac{1}{cos^{2}x\left ( 1+tan^{2}x \right )}dx=arctan(tan\, x)+c=x+c\]

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