Angoli e archi associati

Angoli e archi associati

Si dicono angoli (o archi) associati in una circonferenza goniometrica i seguenti angoli:\[\alpha ,\, \, \, 180^{\circ}-\alpha ,\, \, \, 180^{\circ}+\alpha ,\, \, \, 360^{\circ}-\alpha\]

Proprietà
Gli angoli associati hanno uguali in valore assoluto i valori delle funzioni goniometriche.

Relazioni tra angoli o archi supplementari
\[\begin{matrix} sen(180^{\circ}-\alpha)&=sen\alpha \\ cos(180^{\circ}-\alpha)&=-cos\alpha \\ tan(180^{\circ}-\alpha)&=-tan\alpha \\ cot(180^{\circ}-\alpha)&=-cot\alpha \end{matrix}\]

Esempio 1.- Calcolare il seno di 120 gradi e di 140 gradi.
Si ha:
\[sen120^{\circ}=sen\left ( 180^{\circ}-60^{\circ} \right )=sen60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[sen140^{\circ}=sen\left ( 180^{\circ}-40^{\circ} \right )=sen40^{\circ}\]

Relazioni tra angoli che differiscono di 180 gradi
\[\begin{matrix} sen(180^{\circ}+\alpha)&=-sen\alpha \\ cos(180^{\circ}+\alpha)&=-cos\alpha \\ tan(180^{\circ}+\alpha)&=tan\alpha \\ cot(180^{\circ}+\alpha)&=cot\alpha \end{matrix}\]

Relazioni tra angoli esplementari
\[\begin{matrix} sen(360^{\circ}-\alpha)&=-sen\alpha \\ cos(360^{\circ}-\alpha)&=cos\alpha \\ tan(360^{\circ}-\alpha)&=-tan\alpha \\ cot(360^{\circ}-\alpha)&=-cot\alpha \end{matrix}\]

Esempio 2.- Calcolare il coseno di 315 gradi e di 350 gradi.
Si ha:
\[cos315^{\circ}=cos\left ( 360^{\circ}-45^{\circ} \right )=cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[cos350^{\circ}=cos\left ( 360^{\circ}-10^{\circ} \right )=cos10^{\circ}\]

Relazioni tra archi opposti
\[\begin{matrix} sen(-\alpha)&=-sen\alpha \\ cos(-\alpha)&=cos\alpha \\ tan(-\alpha)&=-tan\alpha \\ cot(-\alpha)&=-cot\alpha \end{matrix}\]

Riduzione di un angolo improprio
\[\begin{matrix} sen(\alpha+k360^{\circ})&=sen\alpha \\ cos(\alpha+k360^{\circ})&=cos\alpha \\ tan(\alpha+k180^{\circ})&=tan\alpha \\ cot(\alpha+k180^{\circ})&=cot\alpha \end{matrix}\]

Esempio 3.- Calcolare il seno di 13710 gradi e 365 gradi.
Si tratta di angoli superiori a 360 gradi, dunque angoli (archi) impropri. Si ha:

\[sen13710^{\circ}=sen\left ( 30^{\circ}+38\cdot 360^{\circ} \right )=sen30^{\circ}=\frac{1}{2}\]

In pratica abbiamo diviso 13710° per 360° e ottenuto 38 con il resto di 30°, quindi abbiamo applicato le formule di riduzione con k = 38.

\[sen365^{\circ}=sen\left ( 5^{\circ}+1\cdot 360^{\circ} \right )=sen5^{\circ}\]

Angoli complementari
\[\begin{matrix} sen(90^{\circ}-\alpha )&=cos\alpha \\ cos(90^{\circ}-\alpha )&=sen\alpha \\ tan(90^{\circ}-\alpha )&=cot\alpha \\ cot(90^{\circ}-\alpha )&=tan\alpha \end{matrix}\]

Angoli che differiscono di 90 gradi
\[\begin{matrix} sen(90^{\circ}+\alpha )&=cos\alpha \\ cos(90^{\circ}+\alpha )&=-sen\alpha \\ tan(90^{\circ}+\alpha )&=-cot\alpha \\ cot(90^{\circ}+\alpha )&=-tan\alpha \end{matrix}\]

Angoli che per somma hanno 270 gradi
\[\begin{matrix} sen(270^{\circ}-\alpha )&=-cos\alpha \\ cos(270^{\circ}-\alpha )&=-sen\alpha \\ tan(270^{\circ}-\alpha )&=cot\alpha \\ cot(270^{\circ}-\alpha )&=tan\alpha \end{matrix}\]

Angoli che differiscono di 270 gradi
\[\begin{matrix} sen(270^{\circ}+\alpha )&=-cos\alpha \\ cos(270^{\circ}+\alpha )&=sen\alpha \\ tan(270^{\circ}+\alpha )&=-cot\alpha \\ cot(270^{\circ}+\alpha )&=-tan\alpha \end{matrix}\]

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