Applicazioni lineari ed esempi

Siano V_n e W_p due spazi vettoriali di dimensione finita n e p rispettivamente sullo stesso campo R (campo dei numeri reali).
Un’applicazione \[f: V_{n}\rightarrow W_{p}\] è detta lineare o un omomorfismo se:

1)    $\displaystyle f\left ( \mathbf{x}+\mathbf{y} \right )=f(\mathbf{x})+f(\boldsymbol{\mathbf{}y})$

2)    $\displaystyle f\left ( a\cdot \mathbf{x} \right )=a\cdot f(\mathbf{x})$

$\displaystyle \forall a\in R,\, \, \mathbf{x},\mathbf{y}\in V_{n}$

Se f è lineare e biunivoca si dice isomorfismo.
Se i sostegni coincidono, V_n = W_p, allora l’applicazione lineare \[f: V_{n}\rightarrow V_{n}\] si dice endomorfismo se verifica le condizioni (1) e (2).
Analoghe definizioni valgono se gli spazi vettoriali sono definiti su uno stesso campo K.

Osservazione. Le relazioni (1) e (2) si possono anche scrivere così:

3)    $\displaystyle f\left ( a\cdot \mathbf{x} +b\cdot \mathbf{y}\right )=a\cdot f(\mathbf{x})+b\cdot f(\mathbf{y})$

$\displaystyle \forall a\in R,\, \, \mathbf{x},\mathbf{y}\in V_{n}$. Infatti, dalla (3) per a = 1, e b = 0 si ottiene la (2) e per a = b = 1 si ottiene la (1).

Esempio 1.-  Verificare se l’applicazione \[f: R\rightarrow R\] definita con $\displaystyle f(x)=cx$ è lineare, con c costante reale. Occorre provare le relazione (1) e (2).

Risoluzione

Per provare la (1) occorre provare che scelti due qualsiasi elementi di x, y di R si ha che la somma x + y si trasforma mediante l’applicazione lineare nella somma dei trasformati di x e di y.
Si ha:

f( x + y ) = c(x + y)

f( x ) = cx

f( y ) = cy

Ne consegue che

f( x ) + f( y ) = cx + cy = c(x+y)

e pertanto è uguale a f( x + y ) = c(x + y).

Per provare la (2) occorre provare che scelto un qualsiasi elemento di x di R si ha che ax si trasforma mediante l’applicazione lineare in a f(x).
Si ha:

f(ax) = acx

f(x) = cx

Ne consegue che

a f(x) = acx = f(ax)

Dunque l’applicazione è lineare.

Esempio 2.-  Verificare se l’applicazione \[f: R\rightarrow R\] definita con $\displaystyle f(x)=cx+k$ è lineare, con c e k, diverso da zero, costanti reali.

Risoluzione

Si ha:

f( x + y ) = c(x + y) + k

f( x ) = cx + k

f( y ) = cy + k

Ne consegue che

f( x ) + f( y ) = cx + k + cy + k = c(x + y) + 2k

e pertanto è uguale a f( x + y ) = c(x + y) + k.

Dunque l’applicazione non è lineare perché 2k è diverso da k.

Esempio 3.-  Data la funzione \[f: R^{2}\rightarrow R^{2}\]  definita \[(x,y)\rightarrow (2x-y,x-2y)\] stabilire se è lineare.

Indichiamo con x = (x₁, x₂) e y = (y₁, y₂) due generici vettori di R² e \[a\in R\].

Risoluzione

Si ha:

f( x + y ) = f [ (x₁+y₁, x₂+y₂ )] = ( 2(x₁+y₁) – (x₂+y₂) , x₁+y₁– 2(x₂+y₂) ) = ( 2x₁ – x₂ + 2y₁ – y₂ , x₁ – 2x₂ + y₁ – 2y₂ )

f( x ) = f [ (x₁, x₂)] = (2x₁ – x₂, x₁ – 2x₂)

f( y ) = f [ (y₁, y₂)] = (2y₁ – y₂, y₁ – 2y₂)

Ne consegue che

f( x ) + f( y ) = (2x₁ – x₂, x₁ – 2x₂) + (2y₁ – y₂, y₁ – 2y₂) = ( 2x₁ – x₂ + 2y₁ – y₂ , x₁ – 2x₂ + y₁ – 2y₂ )

e pertanto è uguale a f( x + y ) = ( 2x₁ – x₂ + 2y₁ – y₂ , x₁ – 2x₂ + y₁ – 2y₂ ).

Bisogna provare la (2).
Ricordiamo che a x = (ax₁, ax₂). Si ha:

f(ax) = f [(ax₁, ax₂ )] = ( 2ax₁– ax₂ , ax₁ – 2ax₂ )

a f(x) = a f [(x₁, x₂ )] = a ( 2x₁– x₂ , x₁ – 2x₂ ) = ( 2ax₁– ax₂ , ax₁ – 2ax₂ )

Dunque l’applicazione è lineare.