Sia \[A=[a_{i\, j}]\]una matrice quadrata d’ordine n, con \[a_{i\, j}\in R\] Si dice autovalore della matrice A ogni soluzione (reale o complessa) \[1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, det\left ( A-\lambda I \right )=0\] ove \[I\] è la matrice identica. Sviluppando il determinante (1) si ottiene il polinomio caratteristico della matrice A, avente la forma di un polinomio di grado n in $\displaystyle \lambda$
Di conseguenza l’equazione di grado n, espressa dalla (1) ammette n soluzioni nel campo complesso C; se la matrice A è simmetrica tali soluzioni sono tutte reali.
Si dice autovettore di A corrispondente all’autovalore $\displaystyle \lambda$ ogni vettore \[\mathbf{x}=\left ( x_{1},x_{2},…,x_{n} \right )\] non nullo, tale che \[A\cdot\mathbf{x}=\lambda \cdot \mathbf{x}\]
L’insieme costituito dal vettore nullo e da tutti gli autovettori $\displaystyle \mathbf{x}$ della matrice A corrispondenti all’autovalore lambda si dice autospazio.
Notiamo che l’autospazio corrispondente a lambda è formato da autovettori tra loro proporzionali, cioè se $\displaystyle \mathbf{x}$ è un autovettore di A anche il vettore \[k\cdot \mathbf{x}\] con k ≠ 0 è un autovettore di A corrispondente all’autovalore lambda.
Esempio 1.- Calcolare gli autovalori e autovettori della matrice \[A=\begin{bmatrix} 0 & 1 &1 \\ 1 & 0 & 1\\ 1 &1 &0 \end{bmatrix}\]
Per esercizi svolti consultare il mio canale Youtube.