Esempio 2.- Determinare gli autovalori e autovettori della seguente matrice\[A=\begin{bmatrix} 1 &4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\]
Calcoliamo il determiniamo della matrice \[A_{\lambda }=A-\lambda I\] ossia
\[A_{\lambda }=\begin{bmatrix} 1-\lambda &4 \\ 0 & 2-\lambda \end{bmatrix}\] e si ha\[\left | A_{\lambda } \right |= \left ( 1-\lambda \right )\left ( 2-\lambda \right )-0=\left ( 1-\lambda \right )\left ( 2-\lambda \right )\] da cui richiedendo che il determinante si annulli si ottengono i due autovalori della matrice A:\[\lambda =1,\, \lambda =2\]
Calcoliamo gli autovettori relativi all’autovalore \[\lambda =1\]
e poi gli autovettori relativi all’autovalore \[\lambda =2\]
Per calcolare gli autovettori della matrice A relativi a \[\lambda =1\] dobbiamo risolvere il sistema \[\begin{bmatrix} 0 & 4\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}\] da cui y=0 e x reale. Pertanto un autovettore della matrice A relativo a \[\lambda =1\] è il vettore (1, 0) e l’autospazio è [x,0] al variare di x in R.
Per calcolare gli autovettori della matrice A relativi a \[\lambda =2\] risolviamo il sistema\[\begin{bmatrix} -1 & 4\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}\] ossia \[-x+4y=0\, \Rightarrow\, x=4y\]
e si ha l’autovettore (4,1) e l’autospazio [4,1].
Esempio 3.- Determinare gli autovalori e autovettori della seguente matrice\[A=\begin{bmatrix} 2 & 1 &0 \\ 1 & 2 &1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\]
Esempio 4.- Determinare gli autovalori e autovettori della seguente matrice\[A=\begin{bmatrix} 3 &-1 & 0 &0 \\ -3 & 1 & 0 & 0\\ 0 &0 &4 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}\]
Esempio 5.- Determinare gli autovalori e autovettori della seguente matrice\[A=\begin{bmatrix} 1 & 0&0 &2 \\ 0 &1 &0 &2 \\ 0 &0 & 1 &2 \\ 2 &2 &2 & 3 \end{bmatrix}\]
Esempio 6.- Determinare gli autovalori e autovettori della seguente matrice\[A=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 2 & 3 &0 \\ 3 & 4 & 1 \end{bmatrix}\]
Esempio 7.- Determinare gli autovalori e autovettori della seguente matrice \[A=\begin{bmatrix} 1 &0 &2\\ 0 & 1 &0 \\ -3 &0 &1 \end{bmatrix}\]
Esempio 8.- Determinare gli autovalori e autovettori della seguente matrice \[A=\begin{bmatrix} 0 &2 &1\\ 2 & 0 &2\\ 0 &0 &3 \end{bmatrix}\]
Esempio 9.- Determinare gli autovalori e autovettori della seguente matrice \[A=\begin{bmatrix} 1 &0 &0\\ 2 & 1 &0\\ 3 &2 &4 \end{bmatrix}\]
Esempio 10.- Determinare gli autovalori e autovettori della seguente matrice \[A=\begin{bmatrix} 0 &2 &1\\ 2 & 0 &2\\ 0 &0 &3 \end{bmatrix}\]
Esempio 11- Determinare gli autovalori e autovettori della seguente matrice\[A=\begin{bmatrix} 3 & 0 &-1 \\ 0 & 6 &-3\sqrt{2} \\ 0 &-3\sqrt{2} & 3 \end{bmatrix}\]