Calcolare i seguenti integrali immediati

AVVERTENZA.- Il calcolo dei seguenti integrali si può fare agevolmente utilizzando la seguente tabella, dedotta da quella degli integrali fondamentali sostituendo x con f(x) e moltiplicando la funzione integrando per f ‘ (x). La seguente tabella è importantissima e va ricordata a memoria:

\[1)\, \, \, \, \int f'(x)f(x)^{n}dx=\frac{f(x)^{n+1}}{n+1}+c,\, \, \, \, \, \forall n\neq -1\]

\[2)\, \, \, \, \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=ln\left | f(x) \right |+c\]

\[3)\, \, \, \, \int f'(x)a^{f(x)}dx=\frac{a^{f(x)}}{lna}+c=a^{f(x)}\cdot ln_{a}\, e+c\]

\[4)\, \, \, \, \int f'(x)e^{f(x)}dx={e^{f(x)}}+c\]

\[5)\, \, \, \, \int f'(x)senf(x)dx=-cosf(x)+c\]

\[6)\, \, \, \, \int f'(x)cosf(x)dx=senf(x)+c\]

\[7)\, \, \, \, \int \frac{f'(x)}{cos^{2}f(x)}dx=tanf(x)+c\]

\[8)\, \, \, \, \int \frac{f'(x)}{sen^{2}f(x)}dx=-ctgf(x)+c\]

\[9)\, \, \, \, \int \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^{2}}}dx=arcsenf(x)+c\]

\[10)\, \, \, \, \int \frac{f'(x)}{1+f(x)^{2}}dx=arctanf(x)+c\]

La tabella si può ampliare aggiungendo gli integrali delle funzioni iperboliche.

\[11)\, \, \, \, \int f'(x)senhf(x)dx=coshf(x)+c\]

\[12)\, \, \, \, \int f'(x)coshf(x)dx=senhf(x)+c\]

\[13)\, \, \, \, \int \frac{f'(x}{cosh^{2}f(x)}dx=tanhf(x)+c\]

\[14)\, \, \, \, \int \frac{f'(x}{\sqrt{1+f\left ( x \right )^{2}}}dx=arcsenhf(x)+c\]

\[15)\, \, \, \, \int \frac{f'(x}{1-f(x)^{2}}dx=arctanh\, f(x)+c\]

1.- Calcolare il seguente integrale: \[\int\frac{dx}{\left ( 3+2x \right )^{5}}\]

Per calcolare l’integrale basta riscriverlo nel seguente modo \[\int\, \left ( 3+2x \right )^{-5}dx\] e di conseguenza moltiplicare e dividere la funzione integranda per 2, si ha: \[\int\,\frac{2}{2} \left ( 3+2x \right )^{-4}dx=\frac{1}{2}\int\,2 \left ( 3+2x \right )^{-4}dx=\frac{1}{2}\frac{\left ( 3+2x \right )^{-3}}{-3}=-\frac{1}{6}\frac{1}{\left ( 3+2x \right )^{3}}+c\]

Abbiamo applicato la seguente regola (1).
Se hai qualche dubbio riprova con questo \[\int (2x+3)\left ( x^{2}+3x+7 \right )^{7}dx\]
Si vede facilmente che \[f(x)=x^{2}+3x+7,\, \, f'(x)=2x+3,\, \, n = 7\] e dunque si può applicare la regola (1) direttamente. Si ha: \[\int \left ( 2x+3 \right )\left ( x^{2}+3x+7 \right )^{7}dx=\frac{\left ( x^{2}+3x+7 \right )^{8}}{8}+c\]

Tutto ok? Bene, continua ad esercitarti, alla fine questi integrali si fanno ad occhio, ovvero si osserva se tutto è a posto, o se manca una costante e si procede…ossia si deduce il risultato!
2.- Calcolare il seguente integrale: \[\int\frac{dx}{\sqrt[5]{4x+3}}\]

 

3.- Calcolare il seguente integrale: \[\int x^{2}e^{-x^{3}}dx\]

Applicando la seguente regola \[\int\,f'(x)e^{f(x)}dx=e^{f(x)}+c\]
Si ha:

\[\int\,x^{2}e^{-x^{3}}dx=-\frac{1}{3}\int\,-3x^{2}e^{-x^{3}}dx=-\frac{1}{3}e^{-x^{3}}+c\]

Tutto chiaro? Se hai dubbi prova a vedere il seguente video con due ulteriori esempi svolti.

Se hai ancora dubbi prova a calcolare il seguente integrale \[\int \frac{sen\left ( lnx+1 \right )}{x}dx\]
Scommetto che hai capito! Se proprio non va oggi, accidenti,…allora vedi il video !

E se non hai capito il metodo vedi anche questo secondo videoOra devi aver capito!

4.- Calcolare il seguente integrale: \[\int x\sqrt{1-x^{2}}dx\]

Suggerimento:- Si tratta di applicare la regola (1)…

5.- Calcolare il seguente integrale: \[\int\frac{dx}{arctan^{2}3x\cdot \left ( 1+9x^{2} \right )}\]

Non riesci a calcolarlo? Allora prova a vedere un esempio completamente svolto nel seguente video!

6.- Calcolare il seguente integrale: \[\int\, sen^{3}x\, cosx\, dx\]

Se non ci riesci prova a vedere il seguente video, si chiede qualcosa in più ma come prima cosa bisogna calcolare l’integrale indefinito qui assegnato.

7.- Calcolare il seguente integrale:\[\int\, \frac{lnx}{x} dx\]

Sembra difficile ma è ovvio, banale, ridicolo… a questo punto lo farai sicuramente ad occhio, senza calcoli!

8.- Calcolare il seguente integrale:\[\int\, \frac{dx}{1-senx}\]

 

9.- Calcolare il seguente integrale:\[\int\, \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{6}}}dx\]

 

10.- Calcolare il seguente integrale:\[\int\, \frac{2^{tanx}}{1+cos2x}dx\]

11.- Calcolare il seguente integrale: \[\int \frac{senx}{cos^{8}x}dx\]

12.- Calcolare il seguente integrale: \[\int \frac{arcsen^{5}x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx\]

13.- Calcolare il seguente integrale: \[\int \sqrt{4-5x+7x^{5}}\left (-35x^{2} +5 \right )dx\]

14.- Calcolare il seguente integrale: \[\int \frac{1}{\sqrt{1-9x^{2}}}dx\]

15.- Calcolare il seguente integrale: \[\int \frac{3senxcosx}{\sqrt{1+cos^{2}x}}dx\]

16.- Altri dieci integrali immediati: 1  2

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