Calcolare i seguenti integrali per decomposizione in somma

AVVERTENZA.- Questo metodo consiste nel decomporre la funzione integranda nella somma algebrica di due o più funzioni delle quali è noto o si sappia calcolare l’integrale. Si utilizza la regola di decomposizione in somma del calcolo integrale ed eventualmente il trasporto della costante fuori dal segno di integrale.
In questi esempi utilizzeremo le seguenti due regole di integrazione:

\[\int f(x)\pm g(x)dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx,\, \, \, \int kf(x)dx=k\int f(x)dx\]

1.Calcolare il seguente integrale per decomposizione in somma: \[\int (5x^{5}-\frac{1}{7}x^{2}-3)dx\]

Applicando la regola di decomposizione in somma si  ha: \[\int 5x^{5}-\frac{1}{7}x^{2}-3dx=5\int x^{5}dx-\frac{1}{7}\int x^{2}dx-3\int dx=5\frac{x^{6}}{6}-\frac{1}{7}\frac{x^{3}}{3}-3x+c=\frac{5x^{6}}{6}-\frac{x^{3}}{21}-3x+c=\]

Calcolare anche i seguenti cinque integrali:\[\int \left ( 4senx+3^{x} -\sqrt[3]{x}\right )dx,\int \left ( -5cosx+2^{x} -\sqrt[4]{x}\right )dx\]

\[\int \frac{x^{3}-2x^{2}+3}{x}dx\]

\[\int 4\cdot \left ( x-3 \right )^{3}dx,\int \left ( senx+\sqrt{2} \right )^{2}dx\]

2.Calcolare il seguente integrale per decomposizione in somma:\[\int \frac{\sqrt{x}+3\sqrt[5]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}dx\]

Si ha: \[\int \frac{\sqrt{x}+3\sqrt[5]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}dx=\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}dx+3\int \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[3]{x}}dx-\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x}}=…\]

Un altro integrale, dello stesso tipo, da calcolare? Eccolo: \[\int \frac{\sqrt[3]{x}-x^{3}+\sqrt[5]{x^{4}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}dx\]

Ci sei riuscito? O hai ancora dubbi? Allora prova a vedere il seguente video, in cui l’integrale è completamente svolto.

 

3.Calcolare il seguente integrale per decomposizione in somma:\[\int \frac{3x+1}{2x-5}dx\]

 

4.Calcolare il seguente integrale per decomposizione in somma:\[\int \frac{3x+2}{4+5x^{2}}dx\]

 

5.Calcolare il seguente integrale per decomposizione in somma:\[\int \frac{x^{4}}{1+x^{2}}dx\]

L’integrale si può calcolare aggiungendo e togliendo 1 al numeratore. Si ha:

\[\int \frac{x^{4}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{4}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int \frac{(x^{4}-1)+1}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{4}-1}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1}dx= \int \frac{x^{4}-1}{x^{2}+1}dx+\int \frac{1}{x^{2}+1}dx= \int \frac{(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{x^{2}+1}dx+\int \frac{1}{x^{2}+1}dx=\int \left ( x^{2}-1 \right )dx+\int\frac{1}{x^{2}+1}dx=\frac{x^{3}}{3}-x+arctanx+c\]

6.Calcolare il seguente integrale per decomposizione in somma:\[\int \frac{1}{sen^{2}cos^{2}x}dx\]

Vedi questo video, magari ti aiuta”

7.Calcolare il seguente integrale per decomposizione in somma:\[\int \frac{x-1}{x^{2}-3x+2}dx\]

 

8. Calcolare il seguente integrale per decomposizione in somma:\[\int cos^{2}x\, dx\]

Suggerimento: utilizzare la formula di bisezione del coseno…

9. Calcolare il seguente integrale per decomposizione in somma:\[\int cos4x\, cos5x\, dx\]

10. Calcolare il seguente integrale per decomposizione in somma: \[\int \frac{1}{senx\, cos^{3}x}dx\]

Precedente Calcolare i seguenti integrali per parti Successivo Calcolare i seguenti integrali per sostituzione