Calcolare l'integrale di logaritmo naturale al quadrato di x

Vogliamo calcolare l'integrale del logaritmo naturale al quadrato di x:

\int ln^{2}x\, dx

Applichiamo il metodo d'integrazione per parti scegliendo come fattore finito

ln^{2}x

e come fattore differenziale 1.
Si ha: 

\int ln^{2}xdx=xln^{2}x-\int x\cdot 2\cdot lnx\cdot \frac{1}{x}dx=xln^{2}x-2\int lnxdx

e risolvendo quest'ultimo integrale

\int lnxdx

 ancora per parti si ha:

\int lnxdx=\int 1\cdot lnxdx=\int lnxd(x)=xlnx-\int dx=xlnx-x+c

Pertanto si ha:

\int ln^{2}xdx=x\left ( ln^{2}x-2lnx+2 \right )+c

Ricordiamo: 

\int ln^{k}xdx=x\cdot ln^{k}x-k\int ln^{k-1}xdx

 

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