Calcolare l’integrale di logaritmo naturale al quadrato di x

Vogliamo calcolare l’integrale del logaritmo naturale al quadrato di x:\[\int ln^{2}x\, dx\] Applichiamo il metodo d’integrazione per parti scegliendo come fattore finito \[ln^{2}x\] e come fattore differenziale 1.
Si ha: \[\int ln^{2}xdx=xln^{2}x-\int x\cdot 2\cdot lnx\cdot \frac{1}{x}dx=xln^{2}x-2\int lnxdx\] e risolvendo quest’ultimo integrale \[\int lnxdx\] ancora per parti si ha:\[\int lnxdx=\int 1\cdot lnxdx=\int lnxd(x)=xlnx-\int dx=xlnx-x+c\] Pertanto si ha:\[\int ln^{2}xdx=x\left ( ln^{2}x-2lnx+2 \right )+c\]

Ricordiamo: \[\int ln^{k}xdx=x\cdot ln^{k}x-k\int ln^{k-1}xdx\]

 

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