Calcolare l’integrale indefinito di tangente alla quarta di x

Vogliamo calcolare l‘integrale della tangente alla quarta di x, ossia: \[\int tan^{4}xdx\] Scriviamo l’integrale nel seguente modo: \[\int tan^{2}x\cdot tan^{2}xdx=\int tan^{2}x\cdot (tan^{2}x+1-1)dx\] da cui decomponendo in due integrali si ha: \[\int tan^{2}x\cdot (tan^{2}x+1)dx-\int tan^{2}x\cdot dx\] ove si ha: \[\int tan^{2}x\cdot (tan^{2}x+1)dx=\frac{1}{3}tan^{3}x\] e \[\int tan^{2}xdx=\int (tan^{2}x+1-1)dx=\int (tan^{2}x+1)dx-\int tanxdx=\int d(tanx)-\int tanxdx=tanx+ln\left | cosx \right |\] Pertanto l’integrale della tangente alla quarta di x è: \[\int tan^{4}xdx=\frac{1}{3}tan^{3}x-tanx+c\]

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