Calcolare l'integrale indefinito di tangente alla quarta di x

Vogliamo calcolare l'integrale della tangente alla quarta di x, ossia: 

\int tan^{4}xdx

Scriviamo l'integrale nel seguente modo: 

\int tan^{2}x\cdot tan^{2}xdx=\int tan^{2}x\cdot (tan^{2}x+1-1)dx

da cui decomponendo in due integrali si ha: 

\int tan^{2}x\cdot (tan^{2}x+1)dx-\int tan^{2}x\cdot dx

ove si ha: 

\int tan^{2}x\cdot (tan^{2}x+1)dx=\frac{1}{3}tan^{3}x

\int tan^{2}xdx=\int (tan^{2}x+1-1)dx=\int (tan^{2}x+1)dx-\int tanxdx=\int d(tanx)-\int tanxdx=tanx+ln\left | cosx \right |

Pertanto l'integrale della tangente alla quarta di x è: 

\int tan^{4}xdx=\frac{1}{3}tan^{3}x-tanx+c

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