Per risolvere un problema di primo o secondo grado conviene procedere nel seguente modo:
- Scegliere l’incognita e valutare le eventuali sue limitazioni;
- Impostare e risolvere l’equazione o il sistema risolvente;
- Esaminare la soluzione per scartare eventuali soluzioni non accettabili.
Problemi di primo grado risolubili con una equazione o con un sistema
Esempio 1.1.- Problemi di algebra. In un cortile vi sono polli e conigli, si contano 16 teste e 56 zampe. Quanti conigli vi sono nel cortile? Quanti polli?
Non sai risolvere il problema? Allora vedi il mio video sul mio canale Youtube
Esempio 1.2.– Determinare tre numeri consecutivi tale che la loro somma sia 3.
Non lo sai risolvere? Allora vedi il mio video
Esempio 1.3.– Un numero aggiunto al suo quadruplo dà 125. Trovare il numero.
Esempio 1.4.– La cifra delle unità di un numero naturale di due cifre supera di 3 quelle delle decine. Dividendo il numero per il doppio delle cifra delle unità diminuita di 3 si ottiene come quoziente 5 e resto 7. Calcolare il numero
Esempio 1.5.- Il padre di Antonio ha 33 anni e Antonio ha 5 anni. Dopo quanti anni l’età del padre è il triplo di quella del padre? Dopo quanti anni l’età del padre è 3/4 di quella del figlio?
Non lo sai risolvere? Allora vedi il mio video
Esempio 1.6.- Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone. Quanto pesa il mattone?
Se non lo sai risolvere prova a vedere il mio video!
Esempio 1.7.- Calcolare il numero dei giorni trascorsi in Italia da Isabella, la quale ha osservato che che i 4/15 di quei giorni sono stati con la neve, il numero dei giorni con il sole è uguale ai 7/8 del numero di quelli con la neve e i giorni piovosi sono stati 15
Esempio 1.8.- La somma di due numeri naturali è 100 e la loro differenza è 20. Trovare i due numeri.
Risoluzione ragionata
Indicare i due numeri con x ed y rispettivamente, da cui poi si ottiene il sistema di due equazioni nelle due incognite x ed y:
\[\left\{\begin{matrix}x+y &=100 \\x-y & =20 \\\end{matrix}\right.\]
Il problema si può risolvere anche con una sola equazione di primo grado. In questo caso basta indicare con x il primo numero e il secondo sarà 100 – x, quindi impostando l’equazione…
Esempio 1.9.- Determinare una frazione sapendo che se si aumenta di 4 il numeratore essa assume valore 2, mentre diventa uguale a 3/2 se si diminuisce di 1 il denominatore.
Esempio 1.10.- Tiziana, Ivana e Annamaria posseggono complessivamente 1000 euro. Se Ivana ha 100 euro in più di Tiziana e Annamaria 200 euro in più di Ivana, calcolare le somme possedute dalle tre ragazze.
Esempio 1.11.- La somma di tre numeri naturali è 40. Il più grande di essi è uguale al triplo della differenza degli altri due e il più piccolo è uguale alla somma degli altri diviso 9. Determinare i tre numeri.
Esempio 1.12.- L’anno di nascita di Arturo è espressa da un numero di quattro cifre. Determinare il numero sapendo che:
- la somma delle quattro cifre è 19;
- la cifra delle centinaia è uguale alla somma della cifra delle decine delle cifra delle unità;
- il quadruplo della cifra delle decine è uguale al triplo della somma della cifra delle centinaia e della cifra delle unità diminuita di 12;
- la somma della cifra delle centinaia e della cifra delle decine è uguale al quintuplo della somma, diminuita di 5, della cifra delle migliaia e delle unità.
Esempio 1.13.- Determinare tre numeri sapendo che la loro somma è 10, che il doppio del primo diminuito del triplo del secondo e aumentato del quadruplo del terzo è 17, mentre il triplo del secondo è uguale al triplo del primo più il terzo.
Esempio 1.14.- Faccio un test e prendo 6,7 punti, sapendo che le domande sono 100 e che quelle corrette valgono 0,1 punti e quelle sbagliate 0,05 punti, come faccio a sapere quante ne ho sbagliate? (supporre di aver risposto comunque a tutte le domande)
Risoluzione
Indicare con x il numero delle domande a risposta corretta e con y il numero di quelle a risposta errata. Quindi risolvere il sistema: x + y = 100 e 0.1x + 0.05y = 6.7.
Risultato x = 34, y = 66 (sono le risposte sbagliate).
Risolvere il problema anche nel caso i cui ogni risposta errata valga – 0.05.
Esempio 2.1.- Problemi di geometria. Un problema geometrico di primo grado? Allora vedi il mio video su Youtube
Esempio 2.2.- Il perimetro di un rettangolo è 40 dm. Un lato è un terzo dell’altro. Determinare le lunghezze delle dimensioni del rettangolo.
Risoluzione ragionata
Basta indicare con x ed y i lati consecutivi del rettangolo per impostare il sistema risolvente; il problema si può risolvere anche con una sola equazione indicando con x un lato (base) del rettangolo e con 20 – x il lato consecutivo (altezza)…e poi impostare l’equazione risolvente. Se ti chiedi da dove esce fuori il 20…. devi riflettere un po’ meglio sul rettangolo. Vedi bene che esce! Esce…escono ovviamente due soluzioni ossia due rettangoli soddisfano alle dichiarate condzioni.
Esempio 2.3.- Determinare le misure dei lati di un rettangolo sapendo che la base è tripla dell’altezza e che, se si aumenta la base di 2 dm e l’altezza di 4 dm l’area aumenta di 36 dm quadri.
Esempio 2.3.- Determinare le misure dei lati di un rettangolo sapendo che la base è tripla dell’altezza e che, se si aumenta la base di 2 dm e l’altezza di 4 dm l’area aumenta di 36 dm quadri.
Esempio 2.4.- Il perimetro di un trapezio isoscele è 224 dm e la base minore è 20/31 della maggiore e ciascun lato obliquo è lungo 61 dm. Calcolare l’area del trapezio.
Esempio 2.5.- Nella figura sono rappresentati un triangolo equilatero, un quadrato e un pentagono regolare. Sapendo che la misura del lato del triangolo equilatero è la semisomma dei lati del quadrato e del pentagono aumentata di 7,8 dm determinare i lati di ogni figura.
Esempio 2.6.- Dato un quadrato ABCD di lato 55 cm, determinare su AB un punto P e su CD un punto T tale che AP = 2 CT e l’area del trapezio APTD sia 3/2 di quella del trapezio PBCT
Esempio 2.7.- Calcolare l’area della corona circolare limitata da due cerchi concentrici aventi raggi tali che la somma dei 3/5 del maggiore con i 2/3 del minore è dm 52, mentre la differenza tra i 5/4 del maggiore e 1/6 del minore è dm 71.
Esempio 2.8.- La lunghezza di una circonferenza è $28\pi$ cm. Tracciamo una corda AB della circonferenza perpendicolare al diametro RS e che interseca il diametro nel punto H. Dal punto A tracciamo la tangente alla circonferenza che incontra il prolungamento del diametro RS dalla parte di S in un punto P. Vogliamo calcolare l’area del quadrilatero APBR sapendo che il rapporto tra RH e SH è 5/2.
Se non sai risolvere il problema prova a vedere il mio video
Esempio 3.1.- Problemi di vario tipo. Dividere la somma di 63 euro tra tre persone in modo che la prima abbia il doppio della seconda e la seconda il doppio della terza.
Esempio 3.2.- Tiziana, Adriana e Assunta posseggono la stessa somma di denaro. Adriana dopo aver ricevuto da Tiziana euro 40 dà la metà di ciò che possiede ad Assunta, la quale viene a possedere 100 euro più di Tiziana. Qual era la somma posseduta in partenza da Tiziana, Adriana e Assunta?
Esempio 3.3.- Calcolare il numero di giorni trascorsi in Germania da Adriana, la quale ha osservato che i 4/15 di quei giorni sono stati con la neve, il numero dei giorni con il sole è uguale ai 7/8 del numero di quelli con la neve e i giorni piovosi sono stati 15.
Esempio 3.4.- Tre viaggiatori arrivano in una locanda e ordinano patate lesse. Quando l’oste porta il piatto con le patate i tre, stanchi come sono per il lungo viaggio, dormono profondamente. Poco dopo uno di loro si sveglia, mangia un terzo delle patate e si riaddormenta. Poi un altro dei tre viaggiatori si sveglia e, non sapendo che il primo aveva mangiato la sua parte, mangia un terzo di quello che trova nel piatto e torna a dormire. Infine il terzo viaggiatore, pur pensando che le patate sono ben poche per tre persone, per correttezza verso i compagni mangia un terzo di quello che trova al suo risveglio. Quando l’oste torna per sparecchiare la tavola trova otto patate. Quante patate aveva preparato?
Risoluzione
Indichiamo con x il numero delle patate preparate dall’oste. Di conseguenza il primo viaggiatore ne mangia
$\displaystyle \frac{1}{3}x$
e ne restano
$\displaystyle (x-\frac{1}{3}x)=\frac{2}{3}x$;
il secondo viaggiattore dunnque mangia
$\displaystyle \frac{1}{3}(x-\frac{1}{3}x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}x=\frac{2}{9}x$;
mentre il terzo viaggiatore mangia
$\displaystyle \frac{1}{3}\left [ x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\left ( x-\frac{1}{3} x\right ) \right ]=\frac{4}{9}x$.
Pertanto l’equazione risolvente è:
$\displaystyle x-\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}x-\frac{4}{27}x=8\Rightarrow x=27$
cioè il primo viaggiatore ne mangia 9, il secondo 6 e il terzo 4, e ne restano 8.
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Problemi di secondo grado
Esempio 1.1.- Problemi di geometria. Dato un triangolo rettangolo ABC rettangolo in A e di area 486 dm^2, inoltre sappiamo che il cateto AC è i 4/3 di BC. Dal punto B tracciamo la perpendicolare a BC che incontra il prolungamento del lato AC nel punto P. Vogliamo calcolare il perimetro del triangolo PBC.
Se non sai risolvere il problema prova a vedere il mio video
Esempio 1.2.- L’area di un rettangolo è 30 dm quadri. Determinare le lunghezze dei lati sapendo che uno è i 3/5 dell’altro.
Esempio 1.3.- In un triangolo rettangolo la differenza tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa è 7 cm, mentre l’altezza ad essa relativa è 12 cm. Determinare l’ipotenusa del triangolo.
Esempio 1.4.- L’area di un trapezio è 750 cm quadri e la sua altezza è 18 cm. Determinare le basi del trapezio sapendo che il rettangolo che le ha per dimensioni ha l’area uguale a 1748 cm quadri.
Esempio 1.5.- La differenza tra le diagonali di un rombo è m 32 mentre il rapporto tra la loro somma è il lato è 14/5. Calcolare il perimetro del rombo.
Esempio 1.6.- Determinare sul segmento AB = 10 m un punto P tale che PA^2 +PB^2 = 148 m.
Esempio 1.7.- Un lato di un triangolo misura 28 dm e l’altezza ad esso relativa lo divide in due parti che stanno fra loro come 2 sta a 5. Determinare gli altri due lati sapendo che il doppio del minore supera il maggiore di dm 9.
Esempio 2.1.- Problemi di algebra. Un numero elevato al quadrato e diminuito di 3 dà il numero di partenza moltiplicato per 12. Qual è il numero?
Esempio 2.2.- Determinare il numero il cui quadrato aumentato di 6 dà il quintuplo del numero stesso
Esempio 2.3.- Determinare un numero intero che sommato con il quadruplo del suo reciproco dia 10 diminuito del triplo del numero stesso.
Esempio 2.4.- Determinare due numeri tali che elevando il primo al quadrato e sommando con il triplo del secondo numero si ottiene un numero che è il quadruplo della somma dei due numeri aumentato di 7. Si sa inoltre che il rapporto tra la somma dei due numeri diviso la differenza tra il più grande dei due numeri e il più piccolo sia uguale alla somma dei due numeri stessi
R. 3, 2
Esempio 2.5.- Determinare tre numeri tali che la somma dei loro quadrati sia 41, la somma del primo con il terzo sia 7 e che il primo sia il triplo del secondo.
Esempio 2.6.- Determinare due numeri positivi che differiscono di 5 e tali che la somma dei loro quadrati sia 32.