Compiti assegnati al Liceo Scientifico

In questo numero presenteremo, man mano, dei compiti assegnati al Liceo Scientifico.

Compito 1M.- Liceo Scientifico, secondo anno,matematica.

Risolviamo il quesito f. Bisogna scomporre il polinomio di sesto grado. Si ha

x^6+7x^3 – 8 = (x^3 -1)(x^3 +8) = (x-1)(x^2+x+1)(x+2)(x^2-2x+4)

Di conseguenza la disequazione assegnata si può scrivere nel seguente modo:

(x-1)(x^2+x+1)(x+2)(x^2-2x+4)>0

ed equivale alla seguente (x-1)(x+2) > 0, avendo trascurato i polinomi di secondo grado positivi in quanto il delta è negativo e il primo coefficiente positivo. Risolta la disequazione (x-1)(x+2) > 0 si vede che le soluzioni della disequazione assegnata sono: x < -2 o x >1.

Compito 2M.- Liceo Scientifico, quarto anno, matematica

Risolviamo il II Quesito. Dai dati del problema si ha che \[S_{13}=273,\, \, d=2\] e si vuol calcolare il primo termine della progressione aritmetica e l’ennesimo termine, cioè il termine di indice 13 (n = 13).

Espriminamo il ternine di indice 13 in funzione del primo termine e si ha\[a_{13}=a_{1}+(13-1)\cdot 2=a_{1}+24\] e sostituiamo nell’equazione \[S_{13}=273\Rightarrow 273=\frac{\left ( a_{1}+a_{13} \right )}{2}13\] e cioè \[273=\frac{\left ( a_{1}+a_{1}+24 \right )}{2}13\Rightarrow 273=\frac{\left ( 2a_{1}+24 \right )}{2}13\Rightarrow 21=\frac{\left ( 2a_{1}+24 \right )}{2}\Rightarrow a_{1}=9\]
Pertanto il primo termine della progressione è 9 e il tredicesimo è 33, mentre i termini della progressione sono: 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33.

Risolviamo il quesito facoltativo. Indichiamo con x il lato più piccolo del triangolo e con q la ragione della progressione geometrica. Allora i lati del triangolo sono: x, xq, xq^2. Dalle condizioni assegnate dal problema si ricava:  x + xq + xq^2 = 57 e x + xq^2 = 39.
Risolto il sistema si ha q = 3/2 e q = 2/3  e i tra lati sono: 12 m, 18 m, 27 m.

Compito 1F.- Liceo Scientifico, quinto anno, Fisica. Un corpo di massa m= 1 kg è appeso ad una molla di costante elastica k = 9 N/m. Se si sposta  il corpo dalla sua posizione di equilibrio O, esso effettua delle oscillazioni intorno ad O. La posizione del corpo all’istante t è individuata dall’ascissax(t) sull’asse delle ascisse  rappresentato in figura.

 

  1. giustifica, in base alle leggi della fisica, perché la funzione x(t) soddisfa l’equazione
    x”(t) + 9x(t) = 0
    e determina la sua soluzione generale. Supposto che all’istante t =  0 il corpo si trovi sul semiasse delle ascisse positive a 0,5 m da O e ch ela sua velocità sia 1,5 m/s, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti.
  2. Determina la soluzione particolare dell’equazione differenziale che soddisfa alle precedenti condizioni.
  3. Verifica che \[x(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}cos\left ( 3t-\frac{\pi }{4} \right )\]
  4. Determina dopo quanto tempo dall’istante t = 0 il corpo passa per la prima volta da O.

Risoluzione

Troviamo la soluzione generale dell’equazione differenziale assegnata. Si tratta di un’equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea e dunque consideriamo la sua equazione caratterisitica \[\lambda ^{2}+9=0\] avente per soluzione \[\lambda=\pm 3i, \, \, con\, \, \alpha =0,\, \beta =3\]
Di conseguenza la soluzione generale dell’equazione differenziale assegnata è:\[x(t)=c_{1}cos3t+c_{2}sen3t\]

Per determinare la soluzione particolare che soddisfa alle condizioni assegnate \[x(0)=0,5,\, \, x'(0)=1,5\] risolviamo il seguente sistema:\[\left\{\begin{matrix} 0,5 &=c_{1}cos(3\cdot 0)+c_{2}sen(3\cdot 0) \\ 1,5 &=-3c_{1} sen(3\cdot 0)+3c_{2}cos(3\cdot 0) \end{matrix}\right.\]

da cui \[\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2} &=c_{1} \\ \frac{3}{2} &=+3c_{2} \end{matrix}\right.\] e quindi \[\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2} &=c_{1} \\ \frac{1}{2} &=c_{2} \end{matrix}\right.\]
Pertanto la soluzione particolare richiesta è:\[x\left ( t \right )=\frac{1}{2}cos3t+\frac{1}{2}sen3t\]

Per provare che \[x(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}cos\left ( 3t-\frac{\pi }{4} \right )\] basta sviluppare tale espressione con la formula di sottrazione del coseno per ottenere la soluzione particolare determinata \[x\left ( t \right )=\frac{1}{2}cos3t+\frac{1}{2}sen3t\]
Infinte per determinare il tempo necessario affinchè il punto ritorni in O, partendo dalla posizione tenuta al tempo t = 0 per la prima volta bisogna prima di tutto calcolare il tempo per andare da O alla posizione di 0,5 m, ottenuta al tempo t = 0, il che si ottiene risolvendo l’equazione \[x\left ( 0 \right )=0,5\Rightarrow0,5=\frac{\sqrt{2}}{2}cos\left ( 3t-\frac{\pi }{4} \right )\] da cui

 

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