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Derivate di una funzione esercizi svolti

Per fare i seguenti esercizi bisogna conoscere le derivate fondamentali e le regole di derivazione.

Esempio 1.- Derivare le seguenti funzioni

\[y=\frac{1}{x}, y=\frac{3}{x^{5}},y=x^{\frac{3}{5}}\] \[y=\sqrt[3]{x^{8}}\]

e calcolarle nel punto x = 1 e nel punto x = 2.

Risoluzione

La derivata della funzione $y=\frac{1}{x}$  si può calcolare in due modi.
Primo modo: applichiamo la derivata di un rapporto e si ha:\[y’=\frac{(D\, 1)x-1Dx}{x^{2}}=\frac{0x-1\cdot 1}{x^{2}}=\frac{-1}{x^{2}}\]
Calcoliamo tale derivata nel punto x = 1 e si ha: \[y'(1)=\left [ \frac{-1}{x^{2}} \right ]_{x=1}=\frac{-1}{\left ( 1 \right )^{2}}=-1\]

Calcoliamo tale derivata nel punto x = 2 e si ha: \[y'(2)=\left [ \frac{-1}{x^{2}} \right ]_{x=2}=\frac{-1}{\left ( 2 \right )^{2}}=-\frac{1}{4}\]

Secondo modo: la funzione $y=\frac{1}{x}$ si può scrivere come $y=x^{-1}$ e applicando la regola della derivata di una potenza si ha: \[y’=-1x^{-1-1}=-1x^{-2}=\frac{-1}{x^{2}}\]

Calcoliamo la derivata della funzione $y=\sqrt[3]{x^{8}}$. Non sai calcolarla? Allora vedi il mio video su Youtube 

Esempio 2.- Derivare le seguenti funzioni\[y=\frac{x+2}{x^{3}-1}, y=\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}+3x+7},\, \, y=\frac{x^{3}+14}{x^{4}-15}\]

Per la seconda funzione calcolare anche y'(0) e y'(-1).

Risoluzione

Calcoliamo la derivata della funzione $\displaystyle y=\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}+3x+7}$ mediante la regola della derivata del rapporto. Si ha:

$\displaystyle y’=\frac{(2x+5)(x^{2}+3x+7)-(x^{2}+5x+6)(2x+3)}{\left ( x^{2}+3x+7 \right )^{2}}$

eseguiamo i calcoli al numeratore:

\[y’=\frac{2x^{3}+6x^{2}+14x+5x^{2}+15x+35-2x^{3}-3x^{2}-10x^{2}-15x-12x-18}{\left ( x^{2}+3x+7 \right )^{2}}\]

da cui riducendo i termini simili al numeratore si ottiene: \[y’=\frac{-2x^{2}+2x+17}{\left ( x^{2}+3x+7 \right )^{2}}\]

Calcoliamo la derivata prima nel punto x = 0, si ha \[y'(0)=\left [\frac{-2x^{2}+2x+17}{\left ( x^{2}+3x+7 \right )^{2}} \right ]_{x=0}=\frac{17}{49}\]

Calcoliamo la derivata prima nel punto x = -1, si ha \[y'(-1)=\left [\frac{-2x^{2}+2x+17}{\left ( x^{2}+3x+7 \right )^{2}} \right ]_{x=-1}=\frac{-2(-1)^{2}+2(-1)+17}{[(-1)^{2}+3(-1)+7)]^{2}}=\frac{13}{25}\]

Esempio 3.- Derivare le seguenti funzioni\[y=x^{2}\cdot \sqrt[3]{x^{2}},\, \, y=\frac{-1}{\sqrt[5]{x^{3}}},\, \, y=\frac{1}{x^{3}\sqrt{x}}\] \[y=\frac{x^{2}+4x+4}{\sqrt{x^{2}+3x-6}},\, \, y=\frac{x^{2}+3x+2}{\sqrt{x^{2}+x+6}},\]

Calcoliamo la derivata della funzione $\displaystyle y=\frac{x^{2}+4x+4}{\sqrt{x^{2}+3x-6}}$ . Non sai calcolarla? Allora vedi il mio video

Esempio 4.- Derivare le seguenti funzioni \[y=5sen\, x-4tan\, x,\, y=tan\: x-2arcsen\, x+3,\, \, 4y=5^{x}+arcos\, x+log_{3}x\] \[y=\sqrt[3]{x}\cdot ln^{2}x\]

Calcoliamo la derivata della funzione $\displaystyle y=\sqrt[3]{x}\cdot ln^{2}x$  applicando la regola del prodotto. Non sai calcolarla? Allora vedi il mio video nel mio canale Youtube

Esempio 5.- Derivare le seguenti funzioni \[y=xln\, x, y =\left ( 1+x^{2} \right )arcatn\, x,y =2^{x}log_{2}x\]

Esempio 6.- Derivare le seguenti funzioni \[y=x\, cosx\, log_{4}x,\, \, y=7^{x}\, arcsenx\, tanx,\, \, y=\frac{1}{log_{3}x}\]

Esempio 7.- Derivare le seguenti funzioni \[y=\frac{x+lnx}{arcsenx +31}, y=\frac{arctanx}{x-arcsenx},\, \, y=\frac{4^{x}+\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\]

$\displaystyle y=\frac{x\cdot ln\, x-1}{ln\, x+1}$

Calcoliamo la derivata della funzione $\displaystyle y=\frac{x\cdot ln\, x-1}{ln\, x+1}$ . Non sai calcolarla? Allora vedi il mio video

Esempio 8.- Derivare le seguenti funzioni \[y=\frac{x^{8}-3x^{5}+2}{x^{4}}, y=\frac{\pi ^{2}-e^{5}}{3}x,y=\sqrt{x-e^{7}}\cdot \left ( \sqrt[3]{x}+\pi \right )\]

$y=x\sqrt{2}-\left ( \frac{2}{\pi } \right )^{4}-sen(2+81\pi )$

Risoluzione

Calcoliamo la derivata della funzione $\displaystyle y=\frac{\pi^{2} -e^{5}}{3}x$ con la regola della derivata di una costante per una funzione.
Si ha:

$\displaystyle y’=\frac{\pi^{2} -e^{5}}{3}\cdot Dx=\frac{\pi^{2} -e^{5}}{3}\cdot 1=\frac{\pi^{2} -e^{5}}{3}$

Ricordiamo che la derivata della costante $\displaystyle \frac{\pi^{2} -e^{5}}{3}$ è zero.

Esempio 9.- Derivare le seguenti funzioni  \[y=tan5x,\: y=cot7x,\, y=tan\pi\]  \[y=arctan\frac{2}{x}-ln\left ( \frac{x^{2}+4}{x^{2}} \right )\]

Calcoliamo la derivata della funzione $\displaystyle y=arctan\frac{2}{x}-ln\left ( \frac{x^{2}+4}{x^{2}} \right )$. Se non sai calcolarla vedi il mio video sul canale Matematica Facile

Esempio 10.- Derivare le seguenti funzioni \[y=ln\left | x \right |,y =sen^{4}x,y=e^{6x},y=\sqrt{cosx},y=\sqrt[5]{log^{3}x},y=\sqrt[4]{log_{2}x}\]

Esempio 11.- Derivare le seguenti funzioni $\displaystyle y=arcsen\frac{x-1}{x+1}-2arccos\frac{x-1}{x+1}$ \[y=ln\left ( 2x+\sqrt{1+4x^{2}} \right )\]

Calcoliamo la derivata della funzione $\displaystyle y=arcsen\frac{x-1}{x+1}-2arccos\frac{x-1}{x+1}$
Non sai calcolarla? Vedi il mio video

Per imparare a calcolare la derivata della funzione \[y=ln\left ( 2x+\sqrt{1+4x^{2}} \right )\] vedi il mio video

Esempio 12.- Derivare le seguenti funzioni \[y=x^{x+1}\] \[y=(senx)^{cosx}\]

$y=\left ( x+2 \right )^{ln\, x}$

$\displaystyle y=log_{(x^{2}+3)}\left ( x^{2}+3x+1 \right )$

Calcoliamo la derivata della funzione \[y=x^{x+1}\]. Se non sai calcolarla vedi il mio video
Se vuoi vedere un altro esercizio svolto vedi il mio video relativo alla terza funzione qui assegnata