Indichiamo con P(x,y,Z) il generico punto (vedi foto) del piano e con TP il vettore di primo estremo T e secondo estremo P, cioè il vettore di componenti (x – 1, y – 2, z – 3). Il vettore TP per stare nel piano individuato dai vettori u e w, linearmente indipendenti, deve essere combinazione lineare di u e w, cioè TP, u e w devono essere un sistema di vettori linearmente dipendenti, ovvero deve essere 2 il rango della matrice avente per righe le componenti dei vettori TP, u e w:
\[A=\begin{bmatrix} x-1 & y-2 &z-3 \\ 1 &-1 &4 \\ 1& 1 & -2 \end{bmatrix}\]
Ma se il rango della matrice A deve essere due allora il determinante di A deve essere zero, ossia:
\[\begin{vmatrix} x-1 & y-2 &z-3 \\ 1 & -1 & 4\\ 1 & 1 &-2 \end{vmatrix}=0\] e calcolando il determinante indicato al primo membro con la regola di Laplace (o con Sarrus) si ha:
e sviluppando questi ultimi calcoli si ottiene:
( x – 1 )( 2 – 4 ) – ( y – 2 ) ( – 2 – 4 ) + ( z – 3 ) ( 1 + 1 ) = 0
ossia:
-2(x – 1) + 6( y – 2 ) + 2( z – 3) = 0
e semplificando per -2 si ottiene:
x – 1 – 3( y – 2 ) – ( z – 3 ) = 0
ossia
x – 1 – 3y + 6 – z + 3 = 0
ossia
x – 3y – z + 8 = 0 equazione del piano richiesto.
Notiamo che l’esercizio si può svolgere anche in altri modi.