1° Metodo. Partiamo dall’uguaglianza:
\[\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}\]
ossia
\[\left (\sqrt{-1}\, \right )^{2}=\sqrt{1}\]
Semplificando il quadrato con la radice ed estraendo al secondo membro la radice quadrata di 1 si ottiene:
\[-1=1\]
2° Metodo.
Partiamo dall’uguaglianza vera:
\[\left ( -1 \right )^{2}=1\]
prendiamo i logaritmi in base 10 di ambo i membri e si ha:
\[log\left [( -1 \right )^{2}]=log(1)\]
da cui per il teorema della potenza dei logaritmi si ha:
\[2log\left( -1 \right )=log(1)\]
e ricordato che log (1) = 0 si ha:
\[2log\left ( -1 \right )=0\]
da cui per la legge dell’annullamento del prodotto segue:
\[log\left ( -1 \right )=0\]
e per definizione di logaritmo si ha:
\[10^{0}=-1\]
ma ricordato che $\displaystyle 10^{0}=1$, si ha:
$\displaystyle 1=-1$
Il che potrebbe significare che avere un debito di 1 euro è come avere invece 1 euro in tasca. Questo mi piace! Mi permette di far soldi facilmente. Infatti per far soldi basta far debiti e far debiti è molto semplice, basta comprare e non pagare. Ottima invenzione!
2.- Dimostriamo che 4 = 5
Partiamo dal fatto vero:
16 – 36 = 25 – 45
Ora mettiamo al posto di $\displaystyle 16=4^{2}$ , al posto di 36 = 2 x 4 x 9/2, al posto di $\displaystyle 25=5^{2}$ e al posto di 45 = 2 x 5 x 9/2 e si ha:
\[4^{2}-2\cdot 4\cdot \frac{9}{2}=5^{2}-2\cdot 5\cdot \frac{9}{2}\]
aggiungiamo ad ambo i membri $\displaystyle (-9)^{2}$ e si ha:
\[4^{2}-2\cdot 4\cdot \frac{9}{2}+\left ( -9 \right )^{2}=5^{2}-2\cdot 5\cdot \frac{9}{2}+\left ( -9 \right )^{2}\]
e per la regola del quadrato del binomio si ha:
\[\left ( 4-\frac{9}{2} \right )^{2}=\left ( 5-\frac{9}{2} \right )^{2}\]
ed estraendo la radice quadrata ad ambo i membri si ha:
\[4-\frac{9}{2} = 5-\frac{9}{2}\]
e cancellando 9/2 ad ambo i membri si ha:
\[4 = 5\]
Il che potrebbe significare che o compro cinque mele o ne compro 4 è la stessa cosa! Mumble mumble…mi sa che qui qualcosa non quadra, il mio fruttivendolo per cinque mele vuole di più di quanto si prende per 4 mele.
3.- Dimostriamo che 2 = 1
Partiamo dall’ipotesi:
\[a = b\]
moltiplichiamo ambo i membri per a e si ottiene:
\[a^{2} = a\cdot b\]
sottraiamo ad ambo i membri la stessa quantità $\displaystyle b^{2}$ e si ottiene:
\[a^{2}- b^{2} =ab-b^{^{2}}\]
scomponiamo i polinomi ad ambo i membri:
\[\left ( a-b \right )\left ( a+b \right ) =b\left ( a-b \right )\]
dividiamo ambo i membri per la stessa quantità $\displaystyle a-b$ e si ottiene:
$\displaystyle a+b=b$
essendo $\displaystyle a=b$ per ipotesi sostituiamo a con b e si ottiene:
\[a+a=a\]
ossia:
\[2a=a\]
e dividendo ambo i membri per a si ottiene:
\[2=1\]
Il che potrebbe significare che avere una moglie o averne due è la stessa cosa. E ti pareva, lo sanno tutti che le donne sono tutte uguali!
4.- Dimostriamo che 1 + 1 = 0
Supponiamo che x = 1 e y = 1, da cui si deduce che x = y e quindi \[x^{2}=y^{2}\] ovvero \[x^{2}-y^{2}=0\] e scomponendo si ha \[\left ( x-y \right )\left ( x+y \right )=0\], da cui dividendo ambo i membri per x – y si ottiene:\[\frac{\left ( x-y \right )\left ( x+y \right )}{x-y}=\frac{0}{x-y}\] e semplificando x – y si ottiene \[x+y=0\]. Da cui essendo per ipotesi x = 1 e y =1 si ottiene che 1 +1 = 0.
5.- Dimostriamo che $\displaystyle 3i=3$
Partiamo dal fatto vero:
\[3i=3\cdot \sqrt{-1}\]
e ricordato che $\displaystyle i$ è un numero immaginario tale che $\displaystyle i^{2}=-1$ ossia $i=\sqrt{-1}$, moltiplichiamo per 2 l’indice del radice e l’esponente del radicando cioè applichiamo la proprietà invariantiva e si ha:
\[3i=3\cdot \sqrt[2\cdot 2]{\left ( -1 \right )^{2}}\]
\[3i=3\cdot\sqrt[4]{\left ( 1 \right )}\]
\[3i=3\cdot1\]
\[3i=3\]
Il che potrebbe significare che i numeri immaginari sono inutili essendo uguali ai numeri reali.
6.- Dimostriamo che $\displaystyle 3>4$
E’ vero che:
\[3<4\]
ma essendo $\displaystyle 3=3\cdot i$, dimostrazione precedente, si ha:
\[3i<4\]
e moltiplicando ambo i membri per $\displaystyle i$ si ottiene:
\[3i\cdot i<4\cdot i\]
cioè
\[3i^{2}<4\cdot i\]
ma per la dimostrazione precedente, fatta per ogni n si ha che $\displaystyle n\cdot i=n$, dunque anche $\displaystyle 4\cdot i=4$ e tenuto conto che $\displaystyle i^{2}=-1$ si ha:
\[-3<4\cdot i\]
ossia
\[-3<4\]
\[3>-4\]
\[3>-\left ( 4i \right )\]
\[3\cdot i>-\left ( 4i \right )\cdot i\]
\[3\cdot i>4\]
\[3>4\]
7.- Dimostriamo che dall’essere 1 = 0 io sono il papa. (Dimostrazione dovuta a B. Russell, come si racconta)
Se 0 = 1, allora, aggiungendo 1 ad entrambi i membri, si ha che 1=2. Io sono una persona, e quindi, poiché 1=2, io sono due persone. Io e il papa siamo due persone. Ed essendo 1=2, per la simmetria della relazione di equivalenza fra numeri naturali, si ha che 2=1. Allora, io e il papa siamo una persona sola e, quindi, io sono il papa.