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Discussione di un’equazione letterale di primo grado

L’equazione:

1)  \[Ax=B\]

si dice equazione razionale di primo grado in forma normale.
Osserviamo che le lettere A e B rappresentano dei numeri reali o delle espressioni letterali, con la condizione che A non sia zero ($\displaystyle A\neq 0$).
In sostanza, sostituendo ad A e B dei numeri si ottengono delle equazioni numeriche:

  • per A = 3, B = 4 si ha l’equazione 3x = 4 avente per soluzione x = 4/3
  • per A = 2, B = 0 si ha l’equazione 2x = 0 avente per soluzione $\displaystyle 2x=0\Rightarrow x=0$;
  • sostituendo ad A e B delle espressioni letterali si ottengono delle equazioni letterali:

per A = a + 1, B = b + a si ha l’equazione

\[(a+1)x=a+b\] con soluzione \[x=\frac{a+b}{a+1}\]

La condizione $\displaystyle A\neq 0$ è essenziale affinché l’equazione (1) ammetta soluzione. Infatti, se sostituiamo A = 0 nella scrittura (1) si ha:

0 x = B ossia 0 = B

e tale scrittura può essere vera o falsa.
Precisamente, è vera se scegliamo anche B = 0, ma è falsa se scegliamo $\displaystyle B\neq 0$.
Infatti, nel caso B = 0 diventa:

0 = 0

che è palesemente vero, mentre per B = 7, ad esempio, diventa:

0 = 7

che è palesemente falso.
Ora, se è $\displaystyle A\neq 0$ l’equazione (1) dicesi determinata e la sua soluzione è \[x=\frac{B}{A}\], se è A = 0 l’equazione può essere impossibile o indeterminata.
Precisamente, fermo restando A = 0, l’equazione (1) è impossibile se è $\displaystyle B\neq 0$ , mentre è indeterminata se è B = 0.
Un’equazione determinata ammette una sola soluzione, un’equazione indeterminata ammette infinite soluzioni, un’equazione impossibile non ammette soluzioni.
Discutere un’equazione significa stabilire quando e se ammette soluzioni in relazioni ai valori numerici assunti dai coefficienti A e B.equazi_letterale_1

Esempio 1.-  Risolvere e discutere la seguente equazione letterale \[(2m+3)x=4m^{2}-9\], con m parametro reale.

La prima cosa da notare è che è \[A=2m+3,\, \, \, B=4m^{2}-9\].

Pertanto, se risulta:\[A=2m+3\neq 0\]

ossia  \[2m+3\neq 0\Rightarrow m\neq -\frac{3}{2}\]

l’equazione è determinata (infatti il coefficiente A è diverso da zero) e la sua soluzione si ottiene con i seguenti passaggi:

$\displaystyle \left ( 2m+3 \right )x=4m^{2}-9\Rightarrow x=\frac{4m^{2}-9}{2m+3}\Rightarrow x=\frac{(2m+3)(2m-3)}{2m+3}$

cioè \[x=2m-3\]

Osserviamo che aver stabilito che \[A=2m+3\neq 0\Leftrightarrow m\neq -\frac{3}{2}\]

permette di dividere ambo i membri dell’equazione per il coefficiente $\displaystyle A=2m+3$ ed arrivare alla soluzione.

Abbiamo dunque stabilito quando l’equazione è determinata, ossia quando per il parametro m scegliamo un numero diverso da -3/2, $\displaystyle m\neq -\frac{3}{2}$ .

Cosa succede se invece scegliamo per m proprio il valore -3/2, $\displaystyle m= -\frac{3}{2}$ ?

Verifichiamolo praticamente, sostituendo $\displaystyle m= -\frac{3}{2}$  nell’equazione data. Si ha:

\[\left [ 2\left ( -\frac{3}{2} \right )+3 \right ]x=4\left ( -\frac{3}{2} \right )^{2}-9\]

ossia

\[\left ( -3+3 \right )x=9-9\Rightarrow 0=0\]

cioè l’equazione data si trasforma nell’uguaglianza 0 = 0, palesemente vera. Quindi l’equazione è indeterminata per $\displaystyle m= -\frac{3}{2}$ .

Ricapitoliamo:

  • per $\displaystyle m\neq -\frac{3}{2}$  l’equazione è determinata e la soluzione è x = 2m – 3
  • per $\displaystyle m= -\frac{3}{2}$  l’equazione è indeterminata. In questo caso le soluzioni sono tutti i numeri reali. Ogni numero è soluzione.

Notiamo che in questo caso l’equazione non è impossibile in nessun caso, cioè non esiste un numero che sostituito al parametro m la rende impossibile.