Disequazioni goniometriche non elementari
Oltre le disequazioni goniometriche elementari vi sono tante altre disequazioni goniometriche e per risolverle bisogna tenere in conto di quanto detto a proposito delle equazioni goniometriche associate nonché tener conto dei principi generali delle disequazioni e delle nozioni (formule) generali di goniometria. Vuoi un Formulario sulle disequazioni? Clicca qui
Risolvere le seguenti disequazioni:
A) Disequazioni riconducibili a disequazioni elementari mediante una particolare posizione:
Esempio 1.1.- Risolvere \[sen(x-\frac{\pi }{8})>\frac{1}{2},\,in \,-\frac{\pi }{2}<x<\pi\]
Esempio 1.2.- Risolvere\[tan\left ( 60^{\circ}+\frac{x}{2} \right )<\frac{-\sqrt{3}}{3},\, \, in\, \, 0<x<360^{\circ}\]
Esempio 1.3.- Risolvere \[cos\left ( 2x+60^{\circ} \right )\geq -\frac{1}{2},\, \, \, in\, \, -90^{\circ}<x<90^{\circ}\]
Esempio 1.4.- Risolvere \[cot\left ( \frac{\pi }{2}-4x \right )\geqslant \sqrt{3} ,\, \, \, in\, \, 0<x<\pi\]
Risoluzione
Posto \[\frac{\pi }{2}-4x =y\] risolviamo preliminarmente in R la seguente disequazione \[cot\, y\geq \sqrt{3}\] si ha che l’equazione associata ammette soluzioni \[y_{1}=\frac{\pi }{6},\, \, \, y_{2}=\frac{7}{6}\pi\] e di conseguenza le soluzioni, in R, della disequazione sono: \[k\pi<y\leq \frac{\pi }{6}+k\pi ,\, \, \, k\in Z\]
Le soluzioni della disequazione assegnata al variare di k si stabiliscono attribuendo a k dei valori e accettando le soluzioni che stanno nell’intervallo $0<x<\pi$. Le soluzioni sono:
per k = 0 si ha $\displaystyle 0<\frac{\pi }{2}-4x<\frac{\pi }{6}\Rightarrow \frac{\pi }{12}<x<\frac{\pi }{8},$
per k = -1 …
…
B) Disequazioni goniometriche riconducibili ad una di secondo grado
\[a\cdot sen^{2}x+b\cdot senx+c>0\]
La disequazione è analoga se contiene le altre funzioni goniometriche.
Esempio 2.1.- Risolvere la disequazione \[tan^{2}x-5tanx+6>0\].
Risoluzione
Posto tan x = y si ha la disequazione \[y^{2}-5y+6>0\] avente per soluzioni \[y<2\cup y>3\]. Di conseguenza, dalla posizione fatta, si è ricondotti a risolvere le disequazioni elementari \[tanx<2\cup tanx>3\]…
Esempio 2.2.- Risolvere la disequazione\[2sen^{2}x-3senx-5>0\]
Esempio 2.3.- Risolvere la disequazione\[cot^{2}x-2cotx-3<0\]
C) Disequazioni goniometriche lineari
\[asenx+bcosx>c\]
La disequazioni si può risolvere in vari modi, uno è quello di utilizzare le formule parametriche e ricodurla ad una di secondo grado e poi a due disequazioni elementari in tangente.
Esempio 3.1.- Risolvere la disequazione lineare \[senx+cosx-1>0\]
Esempio 3.2.- Risolvere la disequazione lineare $\displaystyle cosx+\sqrt{3}senx-\sqrt{3}>0$
Risoluzione
Utilizzando le formule parametriche si può riscrivere la disequazione nel seguente modo:
$\displaystyle \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\sqrt{3}\frac{2t}{1+t^{2}}-\sqrt{3}>0$ $\displaystyle \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\sqrt{3}\frac{2t}{1+t^{2}}-\sqrt{3}>0$
con $\displaystyle t=tan\frac{x}{2}$. E togliendo i denominatori e ordinando si ha:
$\displaystyle \left ( 1+\sqrt{3} \right )t^{2}-2\sqrt{3}t-1+\sqrt{3}<0$
e risolvendo tale disequazione di secondo grado si ha:
$\displaystyle 2-\sqrt{3}<t<1$
Pertanto tenuto conto che $\displaystyle t=tan\frac{x}{2}$ si vede che bisogna risolvere il sistema
$\displaystyle 2-\sqrt{3}<tan\frac{x}{2}<1$
cioè
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} tan\frac{x}{2}< & 1\\ tan\frac{x}{2} >& 2-\sqrt{3} \end{matrix}\right.$
…
D) Disequazioni goniometriche omogenee di secondo grado
\[a\cdot sen^{2}x+b\cdot senxcosx+c\cdot cos^{2}x>d\]
Esempio 4.1.- Risolvere la disequazione omoegenea\[sen^{2}x+senxcosx-2cos^{2}x>0\]
E) Disequazioni goniometriche omogenee di quarto grado
\[a\cdot sen^{4}x+b\cdot sen^{2}xcos^{2}x+c\cdot cos^{4}x>d\]
Esempio 5.1.- Risolvere la disequazione omogenea di quarto grado \[sen^{4}x+3sen^{2}x\, cos^{2}x-cos^{2}x>0\]
F) Disequazioni simmetriche rispetto a sen x e a cos x
\[a\cdot senxcosx+b\cdot (senx+cosx)+c>0\]
Esempio 6.1.- Risolvere la seguente disequazione \[2senx+2cosx-3senx\, cosx>2\]
G) Disequazioni goniometriche con due o più funzioni goniometriche
In questo caso è buona norma cercare di scrivere la disequazione in modo da far figurare una sola funzione goniometrica, eventualmente di un solo angolo. Ad esempio se ci fosse un sen x e un sen (2x) conviene riscrivere in modo da far figurare solo funzioni di x, poi magari ridurre ad una sola funzione goniometrica.
Esempio 7.1.- Risolvere le disequazioni \[senx+2cos\frac{x}{2}-1>sen\frac{x}{2}\]
\[tan\left ( \frac{x}{2} +\frac{\pi }{4}\right )>cos(-x)\]
\[sen4x+sen2x>sen3x\]
\[2sen2x-tanx>0\]
\[tan^{2}\left ( \frac{x}{2} \right )>1-cosx\]
Esempio 7.2.- Risolvere la disequazione \[sen\, x+sen\, 2x\geq 0\]
\[\frac{\left | senx-\frac{\sqrt{2}}{2} \right |-\frac{1}{2}}{tanx-1}>0\]
Vedi la risoluzione sul mio canale Youtube
Esempio 7.3.- Risolvere la disequazione\[\frac{4sen\, x-1}{cosx-\frac{1}{3}}>0\]
\[\frac{cos^{2}x-\frac{1}{2}}{sen^{2}x-3senx+1}\geq 0\]
Esempio 7.4.- Risolvere la disequazione \[\frac{1+2senx-\sqrt{7-4cos^{2}x}}{sen^{2}x-\frac{1}{4}}<0\]
\[\frac{tan^{2}x-5tanx+6}{tan^{3}x-3tan^{2}x+2tanx}< 0\]
Se non la sai risolvere vedi la risoluzione sul mio canale Youtube
Esempio 7.5.- Risolvere la disequazione\[\frac{arctanx-1}{\left ( 5+senx \right )^{4}\sqrt{arccos\, x+19}}>0\]
Risoluzione rapida: vedi la risoluzione sul mio canale Youtube
Puoi consultare alcuni esercizi svolti nel mio Canale Youtube – Matematica Facile