La forma canonica di un’equazione algebrica di 2° grado, nell’incognita x, è:\[1)\, \, \, \, \, \, ax^{2}+bx+c=0\] con a, b e c numeri reali o espressioni algebriche, a diverso da zero.
Se é b = 0 l’equazione (1) si dice pura, mentre se è c = 0 si dice spuria. Le soluzioni della (1) si ottengono mediante la seguente formula risolutiva: \[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\left\{\begin{matrix} x_{1} & =\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ x_{2} & =\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{matrix}\right.\] Il numero reale: \[\Delta =b^{2}-4ac\] si dice discriminante o delta dell’equazione (1).
RICORDIAMO
Se è \[\Delta > 0\] la (1) ammette due soluzioni reali e distinte: x1 diversa da x2 .
Se è \[\Delta =0\] la (1) ammette due soluzioni reali e coincidenti: x1 = x2 .
Se è \[\Delta < 0\] la (1) non ammette soluzioni reali ma complesse e coniugate.
Esempio 1.- Risolvere la seguente equazione algebrica di secondo grado:\[3x^{2}+2x-1=0\] Applicando la formula risolutiva per a = 3, b = 2 e c = – 1, si ha: \[x=\frac{-2\pm \sqrt{4-4(3)(-1))}}{2(3)}=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2\left ( 3 \right )}=\frac{-2\pm 4}{6}=\left\{\begin{matrix} x_{1} &=\frac{-2-4}{6}=-1 \\ x_{2} &=\frac{-2+4}{6}=\frac{1}{3} \end{matrix}\right.\]
Equazione spuria
Per risolvere l’equazione spuria \[ax^{2}+bx=0\] si può procedere anche così:
\[x\left ( ax+b \right )=0\]
(abbiamo messo in evidenza la x)
e per la legge dell’annullamento del prodotto si ha:\[x_{1}=0,\, \, \, x_{2}=-\frac{b}{a}\].
Equazione pura
Per risolvere l’equazione pura \[ax^{2}+c=0\] si può procedere anche così:\[ax^{2}+c=0\Rightarrow ax^{2}=-c\Rightarrow x^{2}=-\frac{c}{a}\Rightarrow x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}\]
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