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Equazione dell’ellisse

Definizione.- Si dice ellisse l’insieme dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi.

Equazione dell’ellisse canonica con i fuochi sull’asse x (fig. 1)

Equazione: \[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,\, \, \, \, con\, \, a >b\]

Vertici: \[A\left ( a,0 \right ),\, \, A’\left ( -a,0 \right ),\, \, B\left ( 0,b \right ),\, \, B’\left ( 0,-b \right )\]

Fuochi: \[F\left ( c,0 \right ),\, F’\left (-c,0 \right )\]

Asse maggiore e asse minore: \[\overline{AA’}=2a,\, \, \overline{BB’}=2b\]

Semiasse maggiore e seminasse minore: \[\overline{OA}=2,\, \, \overline{OB}=2\]

Distanza e semidistanza: focale:\[\overline{FF’}=2c,\, \, \overline{OF}=c\]

Uguaglianza fondamentale: \[c^{2}=a^{2}-b^{2}\]

Eccentricità: \[e=\frac{c}{a}<1\]

Disuguaglianza fondamentale: \[c<a\]

Esempio 1.- Determinare i vertici, i fuochi, l’eccentricità la misura degli assi e dei semiassi e la distanza focale dell’ellisse d’equazione \[\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\]

Essendo \[a^{2}=16\Rightarrow a=\pm 4,\, \, b^{2}=9\Rightarrow b=\pm 3,\]

I vertici sono: \[A(4,0),\, A'(-4,0),\, B(0,3),\, B'(0,-3)\]

Dall’uguaglianza fondamentale dell’ellisse si ricava c: \[c^{2}=a^{2}-b^{2}\rightarrow c^{2}=16-9\rightarrow\, c^{2}=7\rightarrow c=\sqrt{7}\] e dunque i fuochi sono \[F(\sqrt{7},0), F'(-\sqrt{7},0)\]

L’eccentricità è: \[e=\frac{c}{a} =\frac{\sqrt{7}}{4}\]

Gli assi sono:…

Esempio 2.- Determinare i vertici, i fuochi, l’eccentricità la misura degli assi e dei semiassi e la distanza focale dell’ellisse d’equazione \[3x^{2}+4y^{2}=1\]

Esempio 3.- Determinare i vertici, i fuochi, l’eccentricità la misura degli assi e dei semiassi e la distanza focale dell’ellisse d’equazione\[12x^{2}+13y^{2}=156\]

Equazione dell’ellisse canonica con i fuochi sull’asse y

Equazione:\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,\, \, \, \, con\, \, a <b\]

Vertici: \[A\left ( a,0 \right ),\, \, A’\left ( -a,0 \right ),\, \, B\left ( 0,b \right ),\, \, B’\left ( 0,-b \right )\]

Fuochi: \[F\left ( 0,c \right ),\, F’\left (0,-c \right )\]

Asse minore e asse maggiore: \[\overline{AA’}=2a,\, \, \overline{BB’}=2b\]

Semiasse minore e seminasse maggiore: \[\overline{OA}=a,\, \, \overline{OB}=b\]

Distanza e semidistanza: focale:\[\overline{FF’}=2c,\, \, \overline{OF}=c\]

Uguaglianza fondamentale: \[c^{2}=b^{2}-a^{2}\]

Eccentricità: \[e=\frac{c}{b}<1\]

Disuguaglianza fondamentale: \[c<b\]

Esempio 1.- Determinare i vertici, i fuochi, l’eccentricità la misura degli assi e dei semiassi e la distanza focale dell’ellisse d’equazione \[\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\]

Esempio 2.- Determinare i vertici, i fuochi, l’eccentricità la misura degli assi e dei semiassi e la distanza focale dell’ellisse d’equazione \[5x^{2}+3y^{2}=1\]

Esempio 3.- Determinare i vertici, i fuochi, l’eccentricità la misura degli assi e dei semiassi e la distanza focale dell’ellisse d’equazione \[3x^{2}+2y^{2}=6\]

Puoi consultare degli esercizi svolti sul mio canale Youtube.