Crea sito

Equazione dell’iperbole

Definizione.- Si dice iperbole l’insieme dei punti del piano per i quali è costante in valore assoluto la differenza delle distanze da due punti fissi, detti fuochi.

Equazione dell’iperbole canonica con i fuochi sull’asse x ( fig. 1 )

Equazione: \[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]

Vertici: \[A\left ( a,0 \right ),\, \, A’\left ( -a,0 \right ),\, \, B\left ( 0,b \right ),\, \, B’\left ( 0,-b \right )\]

Fuochi: \[F\left ( c,0 \right ),\, F’\left (-c,0 \right )\]

Asse trasverso e asse non trasverso: \[\overline{AA’}=2a,\, \, \overline{BB’}=2b\]

Semiasse trasverso e seminasse non trasverso: \[\overline{OA}=a,\, \, \overline{OB}=b\]

Distanza e semidistanza focale:\[\overline{FF’}=2c,\, \, \overline{OF}=c\]

Uguaglianza fondamentale: \[c^{2}=a^{2}+b^{2}\]

Asintoti: \[y=\frac{b}{a}x,\, \, \, y=-\frac{b}{a}x\]

Eccentricità: \[e=\frac{c}{a}>1\]

Disuguaglianza fondamentale: \[c>a\]

Esempio 1.- Determinare i vertici, i fuochi, l’eccentricità la misura degli assi e dei semiassi e la distanza focale dell’iperbole d’equazione \[\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1\]

Si tratta di un’iperbole canonica con i fuochi sull’asse x. Si ha: \[a^{2}=4\Rightarrow a=\pm 2,\, \, b^{2}=9\Rightarrow b=\pm 3\]

e quindi i vertici reali sono \[A\left ( 2,0 \right ),A’\left (- 2,0 \right )\], mentre i vertici immaginari sono \[B\left ( 0,3 \right ),B’\left (0,-3 \right )\] Di conseguenza applicando l’uguaglianza fondamentale si ha:\[c^{2}=a^{2}+b^{2}=4+9=13\rightarrow c=\sqrt{13}\]…F e F’…

Gli asintoti sono \[y=\frac{b}{a}x\rightarrow y=\frac{3}{2}x,\, \, y=-\frac{b}{a}x\rightarrow y=-\frac{3}{2}x,\]…

L’eccentricità è: \[e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{2}\]

Esempio 2.- Determinare i vertici, i fuochi, l’eccentricità la misura degli assi e dei semiassi e la distanza focale dell’iperbole d’equazione \[\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{16}=1\]

Esempio 3.- Determinare i vertici, i fuochi, l’eccentricità la misura degli assi e dei semiassi e la distanza focale dell’iperbole d’equazione \[\frac{2x^{2}}{3}-\frac{4y^{2}}{5}=7\]

 

Equazione dell’iperbole canonica con i fuochi sull’asse y

Equazione: \[-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\] oppure \[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\]

Vertici: \[A\left ( a,0 \right ),\, \, A’\left ( -a,0 \right ),\, \, B\left ( 0,b \right ),\, \, B’\left ( 0,-b \right )\]

Fuochi: \[F\left ( o,c \right ),\, F’\left (0,-c \right )\]

Asse non trasverso e asse trasverso: \[\overline{AA’}=2a,\, \, \overline{BB’}=2b\]

Semiasse non trasverso e seminasse trasverso: \[\overline{OA}=a,\, \, \overline{OB}=b\]

Distanza e semidistanza focale:\[\overline{FF’}=2c,\, \, \overline{OF}=c\]

Uguaglianza fondamentale: \[c^{2}=a^{2}+b^{2}\]

Asintoti: \[y=\frac{b}{a}x,\, \, \, y=-\frac{b}{a}x\]

Eccentricità: \[e=\frac{c}{b}>1\]

Disuguaglianza fondamentale: \[c>b\]

Esempio 1.- Determinare i vertici, i fuochi, l’eccentricità la misura degli assi e dei semiassi e la distanza focale dell’iperbole d’equazione \[\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{7}=-1\]

Si tratta di un’iperbole canonica con i fuochi sull’asse y. Si ha: \[a^{2}=8\rightarrow a=\pm \sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2},\, \, \, b^{2}=7\rightarrow b=\pm \sqrt{7}\]

Esempio 2.- Determinare i vertici, i fuochi, l’eccentricità la misura degli assi e dei semiassi e la distanza focale dell’iperbole d’equazione \[\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=-1\]

Esempio 3.- Determinare i vertici, i fuochi, l’eccentricità la misura degli assi e dei semiassi e la distanza focale dell’iperbole d’equazione \[\frac{3x^{2}}{7}-y^{2}=-1\]

Puoi consultare degli esercizi svolti sul mio canale Youtube.