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Equazione di una retta e generalità

Equazione di una retta
Ogni equazione del tipo:\[y=mx+n\] o \[ax+by+c=0\] rappresenta una retta in un piano cartesiano Oxy.
I numeri reali: \[m=-\frac{a}{b},\, \, n=-\frac{c}{b}\] sono rispettivamente il coefficiente angolare della retta e l’ordinata all’origine.
La seguente formula \[\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1\] è invece l’equazione segmentaria di una retta che interseca l’asse x nel punto (p,0) e l’asse y nel punto (0,q).

Equazione della retta passante per due punti
L’equazione della retta passante per due punti \[P\left ( x_{1},y_{1} \right )\, \, e \, \, Q\left ( x_{2} ,y_{2}\right )\] è \[\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}\] mentre il coefficiente angolare della retta passante per i due punti dati è \[m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\]

Fascio di rette di centro un punto
L’equazione del fascio di rette di centro il punto \[P\left ( x_{0},y_{0} \right )\] è \[y-y_{0}=m\left ( x-x_{0} \right )\] o \[a\left ( x-x_{0} \right )+b\left ( y-y_{0} \right )=0\].

Fascio improprio
L’equazione del fascio improprio di rette, ovvero il fascio di rette parallele, cioè aventi tutte la stessa direzione, ovvero lo stesso coefficiente angolare m, è:\[y=mx+k\] al variare del parametro reale k si ottengono tutte le rette del fascio.

Condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra due rette
a) Due rette:\[r)\, y=mx+n\, \, \, \, \, e\, \, \, \, r’)y=m’x+n’\] sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare ovvero se e solo se \[m=m’\].
Mentre sono perpendicolari se e solo se \[m\cdot m’=-1\] ovvero \[m=-\frac{1}{m’}\].

Intersezione tra due rette
Due rette:\[r)\, y=mx+n\, \, \, \, \, e\, \, \, \, r’)y=m’x+n’\] per determinare i punti d’intersezione tra le due rette bisogna risolvere il sistema formato dalle equazioni delle due rette, ossia:\[\left\{\begin{matrix} y &=mx+n \\ y &=m’x+n’ \end{matrix}\right.\]

Distanza di un punto da una retta
La distanza del punto \[P\left ( x_{0},y_{0} \right )\] dalla retta \[ax+by+c=0\] è data dalla seguente formula:\[d=\frac{\left | ax_{0}+by_{0}+c \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\]

Esempio 1. Calcolare la distanza del punto P(-1, 2) dalla retta r d’equazione:\[3x-4y+1=0\]
Applicando la formula della distanza di un punto da una retta si ha:\[d=\frac{\left | \left ( 3(-1) \right )-4(2)+1 \right |}{\sqrt{3^{2}+\left ( -4 \right )^{2}}}=\frac{\left | -3-8+1 \right |}{\sqrt{25}}=\frac{10}{5}=2\]

Puoi consultare esercizi svolti di Geometria Analitica nel mio canale Youtube

Angolo tra due rette
L’angolo \[\alpha\] formato da due rette d’equazione: \[r)\, y=mx+n\, \, \, \, \, e\, \, \, \, r’)y=m’x+n’\] è dato dalla seguente formula: \[tan\, \alpha =\left |\frac{m-m’}{1+mm’} \right |\]

Esempi svolti