Un’equazione differenziale del 1° ordine si dice a variabili separabili se si può scrivere sotto la forma:\[1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, A(x)B(y)dx+C(x)D(y)dy=0\] cioè quando i coefficienti di dx e di dy sono entrambi prodotti di una funzione della sola x per una funzione della sola y. Essa si riduce a variabili separate dividendo i due membri per\[B(y)C(x)\neq 0\] L’equazione risulta:\[\frac{A(x)}{C(x)}dx+\frac{D(y)}{B(y)}dy=0\] che è a variabili separate e si risolve come abbiamo visto.[1]
Esempio 1.- Risolvere la seguente equazione differenziale \[3yy’-4e^{x}+1=0\]
Esempio 2.- Risolvere la seguente equazione differenziale \[(y+2)dx-5e^{x}dy=0\]
Esempio 3.- Risolvere la seguente equazione differenziale \[y’-xy-5x=y+5\]
L’equazione si può riscrivere nel seguente modo:\[y’=xy+5x+y+5\rightarrow y’=x(y+5)+(y+5)\rightarrow y’=(x+1)(y+5)\] da cui sostituendo \[y’=\frac{dy}{dx}\] si ha:\[\frac{dy}{dx}=\left ( x+1 \right )(y+5)\rightarrow \frac{dy}{y+5}=\left ( x+1 \right )dx\] e integrando membro a membro si ottiene \[\int \frac{dy}{y+5}=\int \left ( x+1 \right )dx+c\rightarrow ln\left | y+5 \right |=\frac{x^{2}}{2}+x+c\]
La soluzione trovata si può riscrivere anche nel seguente modo: \[ln\left | y+5 \right |=\frac{x^{2}}{2}+x+c\rightarrow e^{ln\left | y+5 \right |}=e^{\frac{x^{2}}{2}+x+c}\rightarrow \left | y+5 \right |=e^{\frac{x^{2}}{2}+x+c}\rightarrow y=-5\pm e^{\frac{x^{2}}{2}+x+c}\]
Esempio 4.- Risolvere la seguente equazione differenziale \[(3y+2)xdx-\left ( x+1 \right )ydy=0\]
Dividendo primo e secondo membro per\[xy\neq 0\]
l’equazione assegnata si può riscrivere nel seguente modo \[\left ( 3y+2 \right )xdy=(x+1)ydx\rightarrow \frac{3y+2}{y}dy=\frac{x+1}{x}dx\] e integrado ad ambo i membri si ha: \[\int \frac{3y+2}{y}dy=\int \frac{x+1}{x}dx+c\rightarrow \int\left (3+\frac{2}{y} \right )dy=\int \left ( 1+\frac{1}{x} \right )dx+c\rightarrow 3y+2ln\left | y \right |=x+ln\left | x \right |+c\]
Esempio 5.- Risolvere la seguente equazione differenziale $\displaystyle y’=cosx\sqrt{y-2}$
Non riesci a risolverla? Allora vedi il mio video
Esempio 6.- Risolvere la seguente equazione differenziale $\displaystyle xy’=y^{2}-1$ e determinare poi l’integrale particolare che passa per il punto A( 2, – 3 )
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[1] Osserviamo che se α è un valore di y tale che B(α)= 0, allora y = α è ancora una soluzione (integrale particolare o singolare) dell’equazione differenziale a variabili separabili. Analogamente si ragiona per eventuali valori della x che annullano C(x).