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Equazione differenziale a variabili separate.

Equazione differenziale a variabili separate.- L’equazione differenziale del 1° ordine, in forma normale:\[1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {y}’=f\left ( x,y \right )\]ponendo \[{y}’=\frac{dy}{dx}\] si può scrivere sotto la forma:\[dy-f\left ( x,y\right )dx=0\]che è un caso particolare della seguente equazione:\[P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\]ad essa equivalente per \[Q(x,y)\neq 0\]

Vediamo ora come si può risolvere un’equazione differenziale del tipo precedente incominciando dalle equazioni differenziali a variabili separate.

a) Un’equazione differenziale del 1° ordine, si dice a variabili separate quando può scriversi sotto la forma: \[A(x)dx+B(y)dy=0\] cioè quando il coefficiente del dx è una funzione della sola x e il coefficiente del dy è una funzione della sola y.
Integrando ambo i membri si ottiene: \[\int A(x)dx+\int B(y)dy=c\]che definisce l’integrale generale dell’equazione differenziale assegnata.

Esempio 1.- Risolvere la seguente equazione differenziale \[y’-e^{x}=3\]

Esempio 2.- Risolvere la seguente equazione differenziale \[y’-x=cos\, x\]

Esempio 3.- Vedi altri esercizi svolti