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Nozione di equazione

Per la scuola superiore
Si dice equazione l’uguaglianza tra due espressioni algebriche, verificata solo per particolari valori delle lettere in essa contenute.

  1. Un’equazione algebrica di primo grado in forma normale è: $ax+b=0$
  2. Un’equazione algebrica di secondo grado in forma normale è: $ax^{2}+bx+c=0$

Per gli universitari
Per equazione si intende il seguente problema:
Dati una funzione reale f(x), definita in un insieme D, e un numero reale p, stabilire se esistono elementi dell’insieme D tali che: \[1)\, \, \, \, \, f(x)=p\] e, in caso affermativo, determinarli.
Risolvere un’equazione significa appunto trovare i valori numerici x che verificano l’uguaglianza (1); ognuno di essi si dice soluzione dell’equazione.

Conviene classificare le equazioni e studiare la tecnica di risoluzione di ogni equazione basata sui Principi di Equivalenza e sulle nozioni e proprietà delle funzioni elementari:

  • Equazioni algebriche di primo grado, secondo grado, di grado superiore al secondo
  • Equazioni irrazionali
  • Equazioni con i moduli
  • Equazioni esponenziali e logaritmiche
  • Equazioni goniometriche e con le funzioni goniometriche inverse
  • Equazioni di vario tipo

Nel caso fosse $\displaystyle f(x)=ax+b$ e p = 0 dalla (1) si ottiene l’equazione algebrica canonica di primo grado $\displaystyle ax+b=0$, mentre nel caso fosse $\displaystyle f(x)=a^{x}$ e p = b si ottiene l’equazione esponenziale elementare \[a^{x}=b\]

Esempio 1.- Risolvere l’equazione \[3^{x}=\frac{1}{81}\]

Si tratta di un’equazione esponenziale perché l’incognita figura all’esponente. L’equazione si risolve mediante i seguenti passaggi: \[3^{^{x}}=\frac{1}{81}\Rightarrow 3^{^{x}}=3^{-4}\Rightarrow x=-4\]

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