La forma tipica di un’equazione algebrica di 3° grado (Formula di Tartaglia-Cardano), nell’incognita x, è:
\[1)\, \, \, Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0\]
con A, B, C, D numeri reali e A diverso da zero.
Dividendo la (1) per A, diverso da zero, si ottiene la forma normale:\[2)\, \, \, \, \, \, x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\] con \[a=\frac{B}{A},\, b=\frac{C}{A},\, c=\frac{D}{A}\] Dall’equazione (2) mediante la sostituzione:\[x=t-\frac{a}{3}\] si ottiene:\[3)\, \, \, \, \, \, \, t^{3}+pt+q=0\] detta forma ridotta, con \[p=b-\frac{a^{3}}{3},\, \, \, q=c-\frac{ab}{3}+\frac{2a^{3}}{27}\] . Le soluzioni t1 , t2 , t3 della (3) si ottengono mediante la seguente formula di Cardano:\[\left\{\begin{matrix} t_{1} &=u+v \\ t_{2} &=-\frac{u+v}{2}+i\frac{u-v}{2}\sqrt{3} \\ t_{3} &=-\frac{u+v}{2}-i\frac{u-v}{2}\sqrt{3} \end{matrix}\right.\] con i unità immaginaria, \[i^{2}=-1\] e \[u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{p}{3} \right )^{3}}},\, \, \, \, \, v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{p}{3} \right )^{3}}},\] ove le determinazioni di u e v devono verificare la relazione:\[u\cdot v=-\frac{p}{3}\]In definitiva le soluzioni della (2) si ottengono dalla seguente formula: \[x_{i}=t_{i}-\frac{a}{3}\] con con i = 1, 2, 3.
Se è D > 0 la (3) ammette una soluzione reale e due complesse coniugate, mentre se è D = 0 ammette tre soluzioni reali, di cui due uguali. Infine, se è D < 0 la (3) ammette tre soluzioni reali * che possono essere calcolate mediante la seguente formula: \[\left\{\begin{matrix} t_{1} &=2\sqrt{\frac{\left | p \right |}{3}} cos\frac{\alpha }{3}\\ t_{2} &=-2\sqrt{\frac{\left | p \right |}{3}} cos\frac{\alpha-\pi}{3}\\ t_{3} &=-2\sqrt{\frac{\left | p \right |}{3}} cos\frac{\alpha+\pi}{3} \\ \end{matrix}\right.\] con \[\alpha =arccos\left ( \frac{\frac{-q}{2}}{\sqrt{\left ( \frac{\left | p \right |}{3} \right )^{3}}} \right )\]
Esempio 1.- Risolvere la seguente equazione di terzo grado \[x^{3}-6x^{2}+11x-6=0\]
Se non sai risolvere l’esercizio vedi il mio video
Esempio 2.- Risolvere la seguente equazione di terzo grado \[x^{3}-15x-4=0\]
Risultato: $\displaystyle x=4,x=-2-\sqrt{3},x=-2+\sqrt{3}$
Esempio 3.- Risolvere la seguente equazione di terzo grado $\displaystyle 4x^{3}-27x-27=0$
Risultato: $\displaystyle x=3,x=-\frac{3}{2}$
Esempio 4.- Risolvere la seguente equazione di terzo grado \[x^{3}+x^{2}-x-1=0\]
Se non sai risolvere l’esercizio vedi il mio video
Esempio 5.- Risolvere la seguente equazione di terzo grado\[x^{3}-21x=20\]
Se non sai risolvere l’esercizio vedi lo svolgimento sul mio canale Youtube
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Esempio 6.- La seguente particolare equazione di terzo grado si può risolvere rapidamente
\[ax^{3}+bx^{2}+cx+\frac{bc}{a}=0\]
perché si può scomporre nel seguente modo \[ax^{3}+bx^{2}+cx+\frac{bc}{a}=a\left ( x+\frac{b}{a} \right )\left ( x^{2}+\frac{c}{a} \right )\] e quindi una soluzione reale sarà \[x=-\frac{b}{a}\] e le altre saranno reali o no a secondo del segno del rapporto \[\frac{c}{a}\]: reali se tale rapporto è negativo, complesse se è positivo.
*
Cioè estraendo le radici terze di un numero negativo. Vedi Estrazione di radice di un numero complesso.