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Equazioni algebriche di grado n

Equazioni algebriche di grado n.

La forma generale di un’equazione algebrica di grado n, nell’incognita x, è:

\[1)\, \, \, \, \, \, \, A_{n}x^{n}+A_{n-1}x^{n-1}+…+A_{1}x+A_{0}=0\]

con $\displaystyle A_{k}$  per k = 0, 1, …, n, numeri interi e n intero positivo.


Teorema fondamentale
. Ogni equazione del tipo (1) ammette almeno una soluzione reale o complessa.

Dal teorema fondamentale segue che la (1) può scriversi in forma di prodotto nel seguente modo:

\[A_{n}\left ( x-x_{1} \right )\cdot \left ( x-x_{2} \right )\cdot …\cdot \left ( x-x_{n} \right )=0\]

$\displaystyle x_{1}, x_{2}, …,x_{n}$ soluzioni reali o complesse  della (1).

Una soluzione della (1) si dice semplice se è distinta dalle  rimanenti n – 1 soluzioni, mentre si dice multipla d’ordine t,  o che ha molteplicità t, se esistono t soluzioni uguali.

Teorema.- L’equazione (1) può sempre essere scritta  nel seguente modo: \[\left ( a_{1}x+b_{1} \right )^{p_{1}}\cdot…\cdot \left ( a_{i}x+b_{i} \right )^{p_{i}}\cdot \left ( \alpha _{1}x^{2}+\beta _{1}x+\gamma _{1} \right )^{q_{1}}\cdot …\cdot \left ( \alpha _{j}x^{2}+\beta _{j}x+\gamma _{j} \right )^{q_{j}}=0\]

ossia è sempre decomponibile nel prodotto di i polinomi

\[a_{1}x+b_{1},a_{2}x+b_{2},…,a_{i}x+b_{i}\]

in R di 1° grado a due a due primi tra loro e di molteplicità rispettivamente

\[p_{1},p_{2},…,p_{i}\]

e di j  polinomi di 2° grado

\[\alpha_{1}x^{2}+\beta_{1}x+\gamma_{1},\alpha_{2}x^{2}+\beta_{2}x+\gamma_{2},…,\alpha_{j}x^{2}+\beta_{j}x+\gamma_{j}\]

con discriminante negativo e a due a due primi tra loro, e di molteplicità rispettivamente

    \[q_{1},q_{2},…,q_{j}\]

 Evidentemente si ha:

\[n=2\left ( q_{1}+q_{2}+…+q_{j} \right )+p_{1}+p_{2}+…+p_{i}\]

con n grado della (1).

Osservazione 1.- Ogni equazione di grado dispari ammette sicuramente almeno una soluzione reale.

Osservazione 2.- Osserviamo, infine, che un’ equazione algebrica di grado n > 4 non è  in  generale risolubile per radicali, ossia non esiste una formula risolutiva  che esegua sui coefficienti Ai solo operazioni razionali ( addizione, sottrazione, moltiplicazione, elevamento a potenza )  ed estrazioni di radici. Infatti, sussiste il seguente:

Teorema di Ruffini – Abel. Per n  >  4, l’equazione generale (1) non è risolubile per radicali.

Vi sono particolari equazioni, come vedremo in seguito, di grado n >  4 che sono invece risolubili per radicali.