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Equazioni algebriche di grado n

Equazioni algebriche di grado n.

La forma generale di un’equazione algebrica di grado n, nell’incognita x, è:

1)

con per k = 0, 1, …, n, e n intero positivo.

Teorema fondamentale. Ogni equazione del tipo (1) ammette almeno una soluzione reale o complessa.

Dal teorema fondamentale segue che la (1) può scriversi in forma di prodotto nel seguente modo:

on x, x2 ,………, xn  soluzioni reali o complesse  della (1).

Una soluzione della (1) si dice semplice se è distinta dalle  rimanenti n – 1 soluzioni, mentre si dice multipla d’ordine t,  o che ha molteplicità t, se esistono t soluzioni uguali.

Teorema.- L’equazione (1) può sempre essere scritta  nel seguente modo:

ossia è sempre decomponibile nel prodotto di i

   ax + b1 ,…, ax + bi

polinomi in R di 1° grado a due a due primi tra loro e di molteplicità rispettivamente

       p 1 , p2 , …, pi

e di j  polinomi di 2° grado

con discriminante negativo e a due a due primi tra loro, e di molteplicità rispettivamente

      q1 , q2 , … , q j

 Evidentemente si ha:

               n = 2( q1 + q2 +…+ q j ) + p + p2 +…+ p i

con n grado della (1).

Osserviamo, infine, che un’ equazione algebrica di grado n > 4 non è  in  generale risolubile per radicali, ossia non esiste una formula risolutiva  che esegua sui coefficienti Ai solo operazioni razionali ( addizione, sottrazione, moltiplicazione, elevamento a potenza )  ed estrazioni di radici. Infatti, sussiste il seguente:

Teorema di Ruffini – Abel. Per n  >  4, l’equazione generale (1) non è risolubile per radicali.

Vi sono particolari equazioni, come vedremo in seguito, di grado n >  4 che sono invece risolubili per radicali.