Equazioni algebriche di grado n.
La forma generale di un’equazione algebrica di grado n, nell’incognita x, è:
\[1)\, \, \, \, \, \, \, A_{n}x^{n}+A_{n-1}x^{n-1}+…+A_{1}x+A_{0}=0\]
con $\displaystyle A_{k}$ per k = 0, 1, …, n, numeri interi e n intero positivo.
Teorema fondamentale. Ogni equazione del tipo (1) ammette almeno una soluzione reale o complessa.
Dal teorema fondamentale segue che la (1) può scriversi in forma di prodotto nel seguente modo:
\[A_{n}\left ( x-x_{1} \right )\cdot \left ( x-x_{2} \right )\cdot …\cdot \left ( x-x_{n} \right )=0\]
$\displaystyle x_{1}, x_{2}, …,x_{n}$ soluzioni reali o complesse della (1).
Una soluzione della (1) si dice semplice se è distinta dalle rimanenti n – 1 soluzioni, mentre si dice multipla d’ordine t, o che ha molteplicità t, se esistono t soluzioni uguali.
Teorema.- L’equazione (1) può sempre essere scritta nel seguente modo: \[\left ( a_{1}x+b_{1} \right )^{p_{1}}\cdot…\cdot \left ( a_{i}x+b_{i} \right )^{p_{i}}\cdot \left ( \alpha _{1}x^{2}+\beta _{1}x+\gamma _{1} \right )^{q_{1}}\cdot …\cdot \left ( \alpha _{j}x^{2}+\beta _{j}x+\gamma _{j} \right )^{q_{j}}=0\]
ossia è sempre decomponibile nel prodotto di i polinomi
\[a_{1}x+b_{1},a_{2}x+b_{2},…,a_{i}x+b_{i}\]
in R di 1° grado a due a due primi tra loro e di molteplicità rispettivamente
\[p_{1},p_{2},…,p_{i}\]
e di j polinomi di 2° grado
\[\alpha_{1}x^{2}+\beta_{1}x+\gamma_{1},\alpha_{2}x^{2}+\beta_{2}x+\gamma_{2},…,\alpha_{j}x^{2}+\beta_{j}x+\gamma_{j}\]
con discriminante negativo e a due a due primi tra loro, e di molteplicità rispettivamente
\[q_{1},q_{2},…,q_{j}\]
Evidentemente si ha:
\[n=2\left ( q_{1}+q_{2}+…+q_{j} \right )+p_{1}+p_{2}+…+p_{i}\]
con n grado della (1).
Osservazione 1.- Ogni equazione di grado dispari ammette sicuramente almeno una soluzione reale.
Osservazione 2.- Osserviamo, infine, che un’ equazione algebrica di grado n > 4 non è in generale risolubile per radicali, ossia non esiste una formula risolutiva che esegua sui coefficienti Ai solo operazioni razionali ( addizione, sottrazione, moltiplicazione, elevamento a potenza ) ed estrazioni di radici. Infatti, sussiste il seguente:
Teorema di Ruffini – Abel. Per n > 4, l’equazione generale (1) non è risolubile per radicali.
Vi sono particolari equazioni, come vedremo in seguito, di grado n > 4 che sono invece risolubili per radicali.