Equazioni congruenziali e congruenza modulo m

Equazioni congruenziali e congruenza modulo m

A) Si dice equazione congruenziale ogni equazione del tipo:

\[ax\equiv b\, \, \left ( mod.\, m \right )\]

con a, b, m interi dati. Si legge: ” a congruo a b modulo m“.

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Equazioni congruenziali

Esempio 1.- Risolvere l’equazione \[7x\equiv 4\, \, \left ( mod.\, 6 \right )\]

Una soluzione è x = 4 perché \[7\cdot 4=28\, e\, 28-4=24\: divisibile\, per\, 6\] ed radice perché non maggiore di m = 6.

Sia \[ax\equiv b\, \, \left ( mod.\, m \right )\] un’equazione congruenziale e sia $\displaystyle x_{0}$ una soluzione cioè

\[ax_{0}\equiv b\, \, \left ( mod.\: m \right )\]

allora ogni numero intero congruo ad $\displaystyle x_{0}$ mod. m è ancora una soluzione dell’equazione.

B) Congruenza modulo m

Dati gli interi $\displaystyle a, b$ si dice che a è congruo a b modulo m (intero positivo)  se m divide a – b. Si scrive: 

\[a\equiv b\left ( mod.m \right )\]

e si chiama congruenza.

Proprietà di una congruenza:

  1. $\forall a\in Z,\, a\equiv a\left ( mod.m \right )$
  2. $a\equiv b\left ( mod.m \right )\Rightarrow b\equiv a\left ( mod.m \right )$
  3. $a\equiv b\left ( mod.m \right )e b\equiv c\left ( mod.m \right )\Rightarrow a\equiv c\left ( mod.m \right )$
  4. $a\equiv b\left ( mod.m \right )\, e\, \, c\equiv d\left ( mod.m \right )\Rightarrow a+c\equiv b+d\left ( mod.m \right )$
  5. $a\equiv b\left ( mod.m \right )\, e\, \, c\equiv d\left ( mod.m \right )\Rightarrow ac\equiv bd\left ( mod.m \right )$
  6. $a\equiv b\left ( mod.m \right )\, \Leftrightarrow r=r’$, con r e r’ i resti rispettivamente di a : m e b : m. Pertanto tutte le classi sono

Esempio 1.- \[13\equiv 4\, \, \left ( mod.\, 3 \right )\] perché 13 – 4 = 9 e 9 è divisibile per m = 3. Il numero 10 è congruo a 2 modulo 4, perché 10 -2 = 8 e 8 è divisibile per m = 4. Il numero 7 non è congruo a 2 modulo 3, perché 7 – 2 è uguale a 5 e 5 non è divisibile per 3.

Esempio 2.- Nell’insieme dei giorni della settimana {domenica, lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato} indicati rispettivamente con 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, possiamo introdurre una congruenza modulo m = 7.

Cosi sapendo, ad esempio, che il 12 novembre 2021 era venerdì, possiamo subito sapere che il 26 novembre era venerdì perché 26 è congruo a 12 modulo 7. Infatti 26 – 12 = 14 e 14 è divisibile per 7.
Allora, introdotta la congruenza modulo 7 nell’insieme dei giorni della settimana valgono anche le seguenti operazioni o uguaglianze:

3 + 4 = 0, 1 + 5 = 6,  5 + 5 = 3

o anche

7 = 0, 3 = 24,  39 = 4

Esempio 3.- Nell’insieme delle ore di un giorno possiamo considerare un’altra congruenza modulo 12. 

Esempio 4.- Possiamo applicare la congruenza modulo m per creare una lotteria legata al gioco del Lotto Italiano. Clicca qui