L’equazione \[1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {y}’+p(x)y+=q(x)y^{n}\] con p(x) e q(x) funzioni continue in un intervallo [a, b] e n costante reale. Se n = 0 o n = 1 l’equazione (1) è lineare, dunque possiamo supporre che \[n\neq 0,\, \, \, \, n\neq 1\]
L’equazione si può ricondurre con la posizione \[y^{n-1}=t\] all’equazione lineare:\[{t}’+\left ( n-1 \right )p(x)\cdot t=\left ( 1-n \right )q\left ( x \right )\] Di conseguenza ad ogni integrale di \[t(x)\] quest’ultima equazione corrisponde l’integrale: \[y(x)=[t\left ( x \right )]^{\frac{1}{1-n}}\]della (1) .
Se n > 0 occorre aggiungere l’integrale\[y\equiv 0\]
Esempio 1.- Risolvere il seguente problema di Cauchy \[\left\{\begin{matrix} y’+\frac{1}{2}y &=\left ( 1+xe^{x} \right )y^{3} \\ y(0) &=1 \end{matrix}\right.\]
Esempio 2.- Altri esercizi svolti
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