Equazioni differenziali 

Argomenti propedeutici: equazioni, derivate, integrali. ecc.

Per imparare a risolvere un’equazione differenziale conviene imparare a risolverle nel seguente ordine:

1. Cenni teorici. Nozione di equazione differenziale. 
Un’equazione della forma:\[1)\, \, \, \, \, \, \, \, G\left ( x,y,{y}’,{y}”,…,y^{\left ( n \right )} \right )=0\]in cui figura come incognita una funzione y = f(x) e che stabilisca un legame tra la variabile indipendente x, la funzione y e le sue derivate \[{y}’,{y}”,…,y^{\left ( n \right )}\]si dice equazione differenziale ordinaria di ordine enne*. Se la (1) è esplicitata rispetto alla derivata di ordine n, ossia se è scritta nella forma\[2)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y^{\left ( n \right )}=g\left (x,y,{y}’,{y}”,…,y^{\left ( n-1 \right )} \right )\]si dice forma normale di un’equazione differenziale. Se n = 1 l’equazione differenziale si dice del primo ordine, se n = 2 si dice del secondo ordine, e così via. Per esempio l’equazione differenziale\[{y}’+4xy-2=0\] è del 1° ordine, mentre l’equazione \[{y}”+4y=0\] è del 2° ordine. Si chiama soluzione (o integrale) di un’equazione differenziale una qualsiasi funzione numerica y = f(x), definita in un intervallo I di R, ivi derivabile n volte, e che soddisfa l’equazione data, ossia tale che: \[3)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, G\left ( x,f(x),{f}'(x),{f}”(x)…,f^{\left ( n \right )}\left ( x \right ) \right )\] Il grafico della funzione y = f(x), si chiama curva integrale dell’equazione differenziale (1). Per precisare il concetto di soluzione, consideriamo la seguente semplice equazione differenziale del 1° ordine: \[{y}’=f(x)\]Se f(x) è una funzione continua in un intervallo [a,b], la relazione y’ = f(x) ci dice che la funzione y = y(x) è una primitiva di f(x), perciò: \[y\left ( x \right )=\int f\left ( x \right )dx+c\]con c costante reale arbitraria. Ne segue che un’equazione differenziale del 1° ordine ha \[\infty ^{1}\]  soluzioni, che dipendono da una costante arbitraria, di conseguenza sono \[\infty ^{1}\] anche le curve integrali.
Per le equazioni del 2° ordine del tipo:\[{y}”=f(x)\]si ha:\[{y}’\left ( x \right )=\int f\left ( x \right )dx+c_{1}\]e quindi\[y\left ( x \right )=\int\left (\, \int f\left ( x \right )dx+c_{1} \right )dx=\int \left ( \int f(x)dx \right )dx+\int c_{1}dx=\int \left ( \int f(x)dx \right )dx+c_{1}x+c_{2}\] con \[c_{1}\, \, e\, \, c_{2}\] costanti arbitrarie. Allora un’equazione del 2° ordine ha \[\infty ^{2}\] soluzioni.

OSSERVAZIONE
Come si è detto, un’equazione differenziale ha infinite soluzioni che dipendono da una o più costanti; il loro insieme si chiama integrale generale. Ogni soluzione dedotta dall’integrale generale assegnando alle costanti valori particolari si dice integrale particolare. Un integrale particolare si ottiene dall’integrale generale, fissando alcune condizioni iniziali. La curva integrale di ogni integrale particolare ha punti interni a D e punti sulla frontiera di D. **

Per imparare a risolvere un’equazione differenziale conviene imparare a risolverle nel seguente ordine:

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* La funzione G è definita in un insieme D incluso in \[D\subseteq R^{n+2}\]
** Se, invece, una curva integrale, soluzione dell’equazione differenziale, è interamente sulla frontiera dell’insieme D si dice integrale singolare o di frontiera. Un tale integrale non è deducibile dall’integrale generale dell’equazione differenziale particolarizzando i valori delle costanti.

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