Un’equazione differenziale del 1° ordine si dice lineare se è di primo grado rispetto a y e y’.
Essa può quindi porsi sotto la forma: \[\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {y}’+p(x){y}=q(x)\]dove p(x) e q(x) sono funzioni note della variabile x che supponiamo continue. Se è q(x) = 0 l’equazione lineare si dice omogenea, in caso contrario non omogenea.
a) Per integrare un’equazione lineare omogenea del tipo:\[1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {y}’+p(x){y}=0\]basta osservare che è un’equazione a variabili separabili e quindi, sostituendo a y’ = dy/dx, si ha: \[ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \frac{dy}{dx}+p(x){y}=0\] da cui integrando si ottiene: \[\int \frac{dy}{y}+\int p(x)dx)=c_{1}\] ossia:\[ln\left | y \right |+\int p(x)dx=c_{1}\]\[ln\left | y \right |+\int p(x)dx=ln\, c\](abbiamo preso la costante in forma logaritmica) e cioè: \[ln\left | \frac{y}{c} \right |=-\int p(x)dx)\]Quindi l’integrale generale è:\[y=c\cdot e^{-\int p(x)dx}\]
b) Per risolvere l’equazione lineare non omogenea del tipo:\[{y}’+p(x)y=q(x)\] si ricorre alla formula\[3)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y=e^{-\int p(x)dx}\left ( \int q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}dx+c_{1} \right )\]
Esempio 1.- Risolvere la seguente equazione differenziale lineare del primo ordine \[y’+3xy=2x^{3}\]
Se non riesci a risolvere l’equazione prova a vedere il seguente video
Esempio 2.- Risolvere il seguente problema di Cauchy \[\left\{\begin{matrix} y’-2xy &=3x^{2}e^{x^{2}+3} \\ y(0) &=0 \end{matrix}\right.\]
Esempio 3.- Vedi altri esercizi svolti