a) Equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine
L’equazione\[1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {y}”+b{y}’+cy=f(x)\]con b, c costanti reali ed f(x) una funzione continua, detta termine noto, in un intervallo I, si dice equazione differenziale lineare non omogenea a coefficienti costanti del secondo ordine.
L’integrale generale dell’equazione (1) si dimostra che è uguale alla somma dell’integrale generale dell’equazione omogenea associata alla (1) e di un integrale particolare della (1), che si può calcolare con il metodo di Lagrange, detto anche metodo della variazione delle costanti arbitrarie.
Il calcolo di un integrale particolare della (1) si può calcolare in modo rapido in alcuni casi in relazione alla tipologia della funzione f(x), termine noto. Ricordiamo i seguenti casi notevoli:
1.- Se il termine noto f(x) è un polinomio di grado n, allora l’integrale particolare della 1) è anch’esso un polinomio q(x) di grado r:
\[r=n \, \, se \, \, c\neq 0\]
\[r=n+1 \, \, \, se \, \, c=0\, e\, b\neq 0\]
\[r=n+2 \, \, \, se \, \, c=0\, e\, b=0\]
I coefficienti di q(x) si determinano imponendo che q(x) verifichi identicamente la (1).
Esempio 1.1.- Risolvere la seguente equazioni differenziale \[y”+6y’+9y=x^{2}\]
Se non ci riesci puoi consultare il mio video
Esempio 1.2.- Risolvere la seguente equazioni differenziale \[y”-5y’+6y=6x^{2}-6\].
Vedi il video
Esempio 1.3.- Risolvi \[y”-7y’+10y=x^{2}-1\]
2.- Se il termine noto è del tipo \[q(x)=A\cdot e^{\alpha x},\, \, A,\alpha \, costanti\, arbitrarie\]
allora l’integrale particolare della 1) q(x) è del tipo:
\[q(x)=B\cdot e^{\alpha\, x}\] se \[\alpha\] non è soluzione dell’equazione caratteristica;
\[q(x)=B\cdot x\cdot e^{\alpha x}\] se \[\alpha\] coincide con una delle soluzioni distinte dell’equazione caratteristica;
\[q(x)=B\cdot x^{2}\cdot e^{\alpha x}\] se \[\alpha\] è radice doppia dell’equazione caratteristica. In ogni caso il coefficiente B si determina in modo che q(x) verifichi identicamente l’equazione data.
Esempio 2.1.– Risolvere la seguente equazione differenziale \[y”-7y’+12y=4e^{7x}\]
Esempio 2.2.– Risolvere la seguente equazione differenziale \[y”-5y’+6y=cosh\, x\]
Esempio 2.3- Risolvere il seguente problema di Cauchy \[\left\{\begin{matrix} y”-y’+3y & =3e^{x}+1\\ y(0) &=0 \\ y'(1) &=0 \end{matrix}\right.\]
3. Se il termine noto è del tipo \[f(x)=C\cdot sen\, \beta x+D\cdot cos\, \beta x,\, \, \, C,D,\beta \, costanti\] allora l’integrale particolare della 1) è del tipo:
\[q(x)=Asen\, \beta x+Bcos\, \beta x\] se \[i\beta\]
non è soluzione dell’equazione caratteristica;
\[q(x)=x\left ( Asen\, \beta x+Bcos\, \beta x \right )\] se \[i\beta\]
è soluzione dell’equazione caratteristica. In ogni caso i coefficienti A e B si determinano in modo che q(x) verifichi identicamente l’equazione data.
4. Se il termine noto è del tipo \[f(x)=e^{\alpha x}\left [ C(x)\cdot sen\, \beta x+D(x)\cdot cos\, \beta x \right ], \, \, \alpha ,\beta \,costanti,\, C(x),\, D(x)\: polinomi\] allora l’integrale particolare della 1) è del tipo:
\[q(x)=e^{\alpha x}\left [ A(x)sen\, \beta x+B(x)cos\, \beta x \right ]\] se \[\alpha +i\beta\] non è soluzione dell’equazione caratteristica;
\[q(x)=xe^{\alpha x}\left [ A(x)sen\, \beta x+B(x)cos\, \beta x \right ]\] se \[\alpha +i\beta\] è soluzione distinta dell’equazione caratteristica; ove in ogni caso A(x) e B(x) sono polinomi da determinare e aventi grado uguale al maggiore dei gradi dei polinomi C(x) e D(x).
Esempio 4.1.- Risolvere la seguente equazione differenziale \[y”-2y’+2y=e^{x}senx\]
Esempio 4.2.- Risolvere la seguente equazione differenziale \[y”-y’=xsenx\]
Esempio 4.3.- Risolvere la seguente equazione differenzialie \[y”+y=e^{x}\left ( cosx+senx+x \right )\]
N.B. Se l’equazione caratteristica ha soluzioni coincidenti e \[\beta =0\]
allora si ha:\[f(x)=C(x)e^{\alpha x} \, \, \,\rightarrow \, \, \, q(x)=x^{2}A(x)e^{\alpha x}\]
5. Se il termine noto è del tipo \[f(x)=C\cdot senh\, \beta x\]
oppure \[f(x)=C\cdot cosh\, \beta x\] con C costante reale, allora l’integrale particolare della 1) q(x) è del tipo:
\[q(x)=A\cdot senh\, \beta x+B\cdot cosh\, \beta x\] se \[\pm \beta\] non soddisfa l’equazione caratteristica;
\[q(x)=x^{n}\left ( A\cdot senh\, \beta x+B\cdot cosh\, \beta x \right )\] se \[\pm \beta\] soddisfa l’equazione caratteristica, ove n è l’ordine di molteplicità di \[\pm \beta\]
In ogni caso le costanti A e B si determinano in modo che q(x) verifichi identicamente l’equazione data.
Principio di sovrapposizione
Se il termine noto f(x) della (1) è somma di n termini l’integrale particolare della (1) è la somma degli n integrali particolari.
b) Equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti costanti d’ordine n.
Si procede in modo analogo al caso a)
Esempio 1.1 Risolvere la seguente equazione del terzo ordine \[ y”’-3y”+2y’=\frac{e^{3x}}{1+e^{x}}\]