Equazioni differenziali e problema di Cauchy

Si dice problema di Cauchy relativo all'equazione 

1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {y}'=f(x,y)

nel punto

P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )

 e si indica con il simbolo: 

\left\{\begin{matrix} y'= & f(x,y)\\ y\left ( x_{0} \right ) &=y_{0} \end{matrix}\right.

il problema di determinare una soluzione y(x) dell'equazione differenziale (1) e che passa per il punto 

P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )

ovvero che nel punto

x=x_{0}\, \, \, assume\, \, valore\, \, \, y=y_{0}

ossia

y\left ( x_{0} \right )=y_{0}

Da un punto di vista geometrico possiamo dire che per ogni punto

P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )

  del dominio D della funzione f(x,y) passa una ed una sola curva integrale dell'equazione differenziale (1). Il problema di Cauchy si può estendere ad equazioni differenziali di ordine superiore al primo. Nel caso l'equazione differenziale sia del secondo ordine

y''=f(x,y,y')

il problema di Cauchy, o dei valori iniziali, si indica nel seguente modo:

\left\{\begin{matrix} y''&=f\left ( x,y,y' \right ) \\ y\left ( x_{0} \right )&=y_{0} \\ y'\left ( x_{0} \right ) &=y'_{0} \end{matrix}\right.

Nel caso l'equazione differenziale sia di ordine n

y^{(n)}=f\left ( x,y,y',...,y^{(n-1)} \right )

il problema di Cauchy si indica nel seguente modo

\left\{\begin{matrix} y^{\left ( n \right )}&=f\left ( x,y,y',...,y^{\left ( n-1 \right )} \right ) \\ y\left ( x_{0} \right )&=y_{0} \\ y'\left ( x_{0} \right ) &=y'_{0} \\ ...\\ y^{\left ( n-1 \right )}\left ( x_{0} \right )&=y^{\left ( n-1 \right )}_{0} \end{matrix}\right.

 

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